折半查找法的平均查找长度

折半查找法也被称为二分查找法，是一种简单高效的查找算法，常用于在有序数组中查找某个元素的位置。其核心思想是不断将查找范围折半，直到找到目标元素或确定目标元素不存在为止。在实际应用中，我们不仅关注其查找效率，还会考虑其平均查找长度。

一、折半查找法的基本原理

在有序数组A中查找元素x的过程中，我们先用变量low和high记录当前查找范围的下标范围，即从A[low]到A[high]，然后将中间位置mid设置为 (low + high) / 2。如果A[mid]等于x，则找到了目标元素；如果A[mid]大于x，则目标元素应该在A[low]到A[mid-1]之间，否则目标元素应该在A[mid+1]到A[high]之间。我们依次缩小查找范围，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。具体查找过程可用下图表示：


二、折半查找法的时间复杂度

折半查找法的时间复杂度为O(logn)，其中n为数组中元素的个数。这是因为每次查找都将查找范围缩小一半，所需查找次数不会超过$log_2^n$次。因此，折半查找法是一种高效的查找算法。

三、折半查找法的优缺点

1.优点：

(1)适用于有序数组：折半查找法只适用于有序数组，但对于静态数据来说，一次排序可以使用多次查找，因此排序的成本被均摊为每次查找所需的成本。

(2)时间复杂度高效：折半查找法的时间复杂度为O(logn)，性能较高。

2. 缺点：

(1)仅适用于静态数据：折半查找法仅适用于静态数据，不适用于动态数据。

(2)需要连续的存储空间：折半查找法要求数据存储在连续的存储空间中，因此对于链表等非连续存储结构无法使用。

四、折半查找法的平均查找长度

平均查找长度（ASL）是评价一个查找算法效率好坏的重要指标。在折半查找法中，平均查找长度可以通过以下公式计算：

ASL=（1/2）×（1+log2n）

其中n为数组中元素的个数。该公式的推导过程可以用二叉树表示，详见下图：


从上图中可以看出，折半查找法每次都会将查找范围缩小一半，因此查找过程可以转化为一棵二叉树，每次查找二分之一，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。在最坏情况下，查找深度为O(logn)，此时ASL=（1/2）×（1+log2n）；在最优情况下，元素刚好位于数组的中间位置，查找深度为1，此时ASL=1/2。因此，折半查找法的平均查找长度非常接近O(logn)，效率极高。

五、补充说明

1.折半查找法的实现方式不唯一，不同实现方式对查找效率和ASL可能会有不同的影响。

2.折半查找法也可以用递归实现，但递归会增加实现的复杂度和空间开销，不如非递归实现简单高效。