关键路径计算题及答案

在项目管理中，关键路径计算是非常重要的技术之一。它可以帮助项目管理人员确定项目的最短持续时间，并找出项目中最重要的活动。在这篇文章中，我们将通过一个关键路径计算题目来了解该技术。

题目如下:

假设你是一位项目经理，负责建造一个新的办公楼。你已经确定了所有的活动，并且估算了它们的完成时间。下面是你的任务清单：

| 活动 | 前置活动 | 预计完成时间（天）|

| --- | --- | --- |

| A | 无 | 5 |

| B | 无 | 3 |

| C | A | 4 |

| D | B | 6 |

| E | C,D | 7 |

| F | E | 4 |

| G | F | 3 |

| H | E | 5 |

| I | G,H | 2 |

由于本题较为简单，我们不妨使用手动方法进行计算。

首先，我们需要画出网络图，如下所示:

```

5 4 7 2

A ---► C ---► E ---► F ---► G ---► I

↑ |

6 | | 5

D H

↓ |

B-------------► E --►

```

接下来，我们可以使用前面讲到的三个步骤来计算关键路径。

第一步：计算每个活动的 ES 和 EF。ES 表示 Earliest Start Time（最早开始时间），EF 表示 Earliest Finish Time（最早完成时间）。计算方法如下：

对于活动 A：

ES(A) = 0

EF(A) = ES(A) + 5 = 5

对于活动 B：

ES(B) = 0

EF(B) = ES(B) + 3 = 3

对于活动 C：

ES(C) = max(EF(A), EF(B)) = 5

EF(C) = ES(C) + 4 = 9

对于活动 D：

ES(D) = EF(B) = 3

EF(D) = ES(D) + 6 = 9

对于活动 E：

ES(E) = max(EF(C), EF(D)) = 9

EF(E) = ES(E) + 7 = 16

对于活动 F：

ES(F) = EF(E) = 16

EF(F) = ES(F) + 4 = 20

对于活动 G：

ES(G) = EF(F) = 20

EF(G) = ES(G) + 3 = 23

对于活动 H：

ES(H) = EF(E) = 16

EF(H) = ES(H) + 5 = 21

对于活动 I：

ES(I) = max(EF(G), EF(H)) = 23

EF(I) = ES(I) + 2 = 25

第二步：计算每个活动的 LS 和 LF。LS 表示 Latest Start Time（最晚开始时间），LF 表示 Latest Finish Time（最晚完成时间）。计算方法如下：

对于活动 I：

LF(I) = EF(I) = 25

LS(I) = LF(I) - 2 = 23

对于活动 H：

LF(H) = EF(I) = 25

LS(H) = LF(H) - 5 = 20

对于活动 G：

LF(G) = EF(I) = 25

LS(G) = LF(G) - 3 = 22

对于活动 F：

LF(F) = ES(H) = 21

LS(F) = LF(F) - 4 = 17

对于活动 E：

LF(E) = min(LS(F), LS(I)) = 17

LS(E) = LF(E) - 7 = 10

对于活动 D：

LF(D) = ES(E) = 10

LS(D) = LF(D) - 6 = 4

对于活动 C：

LF(C) = ES(E) = 10

LS(C) = LF(C) - 4 = 6

对于活动 B：

LF(B) = ES(D) = 9

LS(B) = LF(B) - 3 = 6

对于活动 A：

LF(A) = ES(C) = 6

LS(A) = LF(A) - 5 = 1

第三步：计算每个活动的总浮动时间和自由浮动时间。总浮动时间表示活动的 ES 可以延迟多少天而不会影响整个项目的完成时间，自由浮动时间则表示活动可以延迟多少天而不会影响其后继活动。

计算公式如下：

Total Float = LF - EF = LS - ES

Free Float = ES of the next activity - EF of the current activity - 1

我们来逐个计算：

对于活动 A：

Total Float = 6 - 5 = 1

Free Float = ES(C) - EF(A) - 1 = 0

对于活动 B：

Total Float = 9 - 6 = 3

Free Float = ES(D) - EF(B) - 1 = 0

对于活动 C：

Total Float = 10 - 9 = 1

Free Float = ES(E) - EF(C) - 1 = 0

对于活动 D：

Total Float = 4 - 4 = 0

Free Float = ES(E) - EF(D) - 1 = 0

对于活动 E：

Total Float = 17 - 16 = 1

Free Float = ES(F) - EF(E) - 1 = 0

对于活动 F：

Total Float = 21 - 20 = 1

Free Float = ES(G) - EF(F) - 1 = 0

对于活动 G：

Total Float = 25 - 23 = 2

Free Float = ES(I) - EF(G) - 1 = 0

对于活动 H：

Total Float = 21 - 20 = 1

Free Float = ES(I) - EF(H) - 1 = 2

对于活动 I：

Total Float = 0

Free Float = 0

因此，关键路径为 A-C-E-F-G-I，项目的最短持续时间为 25 天。

以上就是我们通过一个实例对关键路径计算的分析。

综上所述，关键路径计算仍是项目管理不可或缺的工具之一。通过这种方法，项目经理可以轻松确定项目最短持续时间和最关键的任务。关键路径计算也有助于在整个项目周期中调整日期和资源分配。