动态规划法的基本思想

动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决各种优化问题，特别是组合优化问题的有效方法。它的主要思想是将原问题分解为相互重叠的子问题，通过求解子问题的最优解来求得原问题的最优解。

动态规划有两个重要特征：重叠子问题和最优子结构。重叠子问题是指在求解一个问题时，与该问题相关的子问题会反复出现。最优子结构是指一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。

在具体的实践中，DP方法一般分为以下几个步骤：

1. 确定状态。将原问题转化为一个包含若干个子问题的状态集合，写出状态转移方程。

2. 状态转移方程。根据第一步中得到的状态集合，写出状态转移方程。状态转移方程通常可以由递推或递归的方式得到。

3. 初始状态。对一些特殊的状态，给出直接求解的方法，通常称为初始状态。

4. 最优解的构造。根据状态转移方程得到的最优解，可以反推回去得到原问题的最优解。有时需要结合一定的算法技巧，比如回溯等。

动态规划法广泛应用于字符串匹配、图像识别、人工智能、数字和序列问题等领域。

下面从不同角度分析动态规划法的基本思想。

一、递归与动态规划

从递归的角度看，DP的过程类似于递归，但是与传统递归不同的是，DP会保存之前计算出的结果，避免了重复计算，使得算法效率得到提高。

例如，斐波那契数列的递归写法是f(n) = f(n-1) + f(n-2)，但存在重复计算的问题，因此可以使用DP来优化：

int dp[10000];

int fib(int n) {

if (n == 1 || n == 2) {

return 1;

}

if (dp[n] != 0) {

return dp[n];

}

dp[n] = fib(n-1) + fib(n-2);

return dp[n];

}

二、DP与贪心算法

从贪心算法的角度看，贪心算法一般是将一个问题分解成若干个子问题，并每次选择最小的或最大的子问题进行解决，但是贪心算法并不能保证最终能得到全局最优解。

DP虽然也是将问题分解成若干个子问题，并求其最优解，但是DP有一个最优子结构的特点，保证了最终得到的一定是全局最优解。因此，DP更加适用于那些有最优子结构的问题。

三、DP与分治算法

从分治算法的角度看，分治算法将一个问题分解成若干个规模相等的子问题，并将它们分别解决。但是分治算法不能保证子问题的解一定是最优的，因此不能保证最终得到全局最优解。

而DP将问题分解成若干个重叠子问题，并对每个重叠子问题只求解一次，因此可以避免重复计算，得到最优解。

四、DP的优缺点

DP的优点是可以得到问题的最优解，并且适用范围广泛。而其缺点是需要较大的空间和时间复杂度来储存和计算状态表，因此对于某些问题可能并不适用。此外，由于DP需要满足重叠子问题和最优子结构的条件，因此不能适用于所有问题。