平衡二叉树例题

平衡二叉树，是一种自平衡的二叉搜索树，也称为 AVL 树。在平衡二叉树中，任何节点的两个子树的高度差不超过 1。平衡二叉树的构造和维护，是一个经典的算法问题，本文将以「平衡二叉树例题」为题目，从多个角度分析平衡二叉树的相关问题。

1. 平衡因子与旋转操作

平衡二叉树的平衡因子，定义为该节点的左子树高度减去右子树高度。如果平衡因子的绝对值超过 1，就需要进行旋转操作来保持平衡。

常用的旋转操作有左旋和右旋。左旋是将一个节点的右子树旋转到它的左子树上，右旋是将一个节点的左子树旋转到它的右子树上。不同的旋转操作可用于不同的平衡调整情况。

例如，插入节点 15 后，节点 10 的平衡因子为 2，需要进行右旋操作。左旋和右旋的代码实现如下：

```

// 右旋操作

TreeNode* rotateRight(TreeNode* root) {

TreeNode* newRoot = root->left;

root->left = newRoot->right;

newRoot->right = root;

updateHeight(root);

updateHeight(newRoot);

return newRoot;

}

// 左旋操作

TreeNode* rotateLeft(TreeNode* root) {

TreeNode* newRoot = root->right;

root->right = newRoot->left;

newRoot->left = root;

updateHeight(root);

updateHeight(newRoot);

return newRoot;

}

```

2. 插入节点与删除节点

在平衡二叉树中，插入节点和删除节点会引起平衡调整。插入节点的过程类似于二叉搜索树，但是要注意在插入完成后，对从插入节点到根节点的路径上所有节点进行平衡调整。

删除节点的过程比较复杂，分为三种情况：删除的节点没有子节点、删除的节点只有一个子节点、删除的节点有两个子节点。对于每种情况，需要分别进行处理并进行平衡调整。

例如，在以下平衡二叉树中删除节点 7，需要对节点 6 进行旋转操作以保持平衡：

```

10

/ \

6 11

/ \ \

4 7 12

\

8

```

3. 时间复杂度分析

平衡二叉树的时间复杂度，与树的高度有关。由于平衡二叉树的树高始终为 O(log n)，因此插入节点、删除节点、查找节点的时间复杂度均为 O(log n)。

需要注意的是，在一些最坏情况下，平衡二叉树可能失去平衡，树高变为 O(n)，此时插入节点、删除节点、查找节点的时间复杂度均为 O(n)。为了避免这种情况的发生，可以采用红黑树等其它自平衡的数据结构。