动态规划的基本思想

动态规划（Dynamic Programming）是一种在计算机程序设计中使用的优化算法。动态规划的核心思想是将原问题分解成子问题来求解，同时保存子问题的解，避免重复计算。这种方法在适当的情况下，可以大大减少计算机的计算量，提高算法的效率。

动态规划算法可以分为两类：一类是自顶向下的备忘录法，一类是自底向上的递推法。自顶向下的备忘录法是一种利用记忆化搜索优化的技术。具体来说，我们在计算子问题的解的同时，将其保存下来，避免重复计算。当我们再次需要计算这个子问题的解时，我们只需要在记忆化数组中查找即可。而自底向上的递推法则直接计算出原问题的解，具体来说，我们从最小的子问题开始，逐步推导得出原问题的解。

动态规划算法常用于解决具有最优子结构的问题。最优子结构意味着问题的最优解可以由其子问题的最优解递推得到。之所以可以使用动态规划算法解决此类问题，是因为其在分治算法基础上加上了记忆化搜索的思想。例如，在求解一个最优化问题时，我们可以根据局部最优解推导出全局最优解。此时，我们可以将其问题分解成子问题，并利用记忆化搜索避免重复计算。

动态规划算法还常用于解决可分割的背包问题。在可分割的背包问题中，我们需要从有限的物品中选取若干物品，放入容量有限的背包中，使得所放入物品的总价值最大。动态规划算法可以帮助我们快速求解这个问题。具体来说，我们可以使用一个二维数组来保存当前背包的最优解，然后逐个考虑每一个物品，将其加入到背包中，更新最优解，然后依此类推。使用动态规划算法可以使时间复杂度降低到 O(N*V)，其中 N 表示物品的个数，V 表示背包的容量。

总的来说，动态规划算法是一种非常实用的算法，可以帮助我们解决很多实际问题。其核心思想是将原问题分解成子问题来求解，同时保存子问题的解，避免重复计算。动态规划算法常用于解决具有最优子结构的问题，以及背包问题等。