项目管理关键路径法例题

项目管理是一项重要的管理技术，其目的是实现在时间有限和资源受限的情况下，实现项目目标。在项目管理中，有多种管理工具可以协助完成任务。其中，关键路径法(Critical Path Method，CPM)是最常用的一种方法。这种工具可以帮助管理人员确定项目的最短时间，以及在达成任务所需时间的同时最大程度地利用资源。下面我们就来看一道关键路径法例题。

某航天公司正在开发一款新型卫星。在方案制定阶段，公司的管理人员需要确定项目的关键路径并确定实现项目目标所需的最短时间。该项目的所有任务、耗时及任务关系如下表所示：

| 任务 | 耗时（天）| 前置任务 |

|:----:|:--------:|:------:|

| A | 5 | |

| B | 6 | A |

| C | 8 | A |

| D | 5 | A |

| E | 3 | B,C |

| F | 4 | D,E |

| G | 5 | E |

| H | 6 | F,G |

首先，我们需要确定每个任务的最早开始时间（Early Start，ES），最早完成时间（Early Finish，EF），最晚开始时间（Late Start，LS），最晚完成时间（Late Finish，LF）和浮动时间（Slack）。

任务A的ES为0，EF为5。

任务B的ES为5，EF为11。B任务的耗时为6天。因此，B任务的EF是A任务的EF+6=5+6=11。

任务C的ES为5，EF为13。C的耗时为8天，因此，C的EF是A的EF+8=5+8=13。

任务D的ES为5，EF为10。D的耗时为5天，因此，D的EF是A的EF+5=5+5=10。

任务E的ES为13，EF为16。E任务的前置任务是B和C，因此，E任务必须等B和C都完成后才能开始。E的ES等于前置任务B和C的EF的较大值，即11和13，所以E任务的ES是13。E任务的耗时是3天，因此，E任务的EF是13+3=16。

任务F的ES为16，EF为20。F任务的前置任务是E和D，所以F任务必须等E和D任务都完成后才能开始。F任务的ES等于前置任务E和D的EF的较大值，即16和15，所以F任务的ES是16。F任务的耗时是4天，因此，F任务的EF是16+4=20。

任务G的ES为16，EF为21。G任务的前置任务是E，所以G任务必须等E任务完成后才能开始。G任务的ES等于E任务的EF，即13，所以G任务的ES是16。G任务的耗时是5天，因此，G任务的EF是16+5=21。

任务H的ES为20，EF为26。H任务的前置任务是F和G，因此H任务必须等F和G任务都完成后才能开始。H任务的ES等于前置任务F和G的EF的较大值，即20和21，所以H任务的ES是21。H任务的耗时是6天，因此，H任务的EF是21+6=26。

接下来，我们需要确定最短时间和关键路径。最短时间是完成项目任务所需的最短时间。关键路径是完成项目所需时间最长的路径。我们可以通过计算初始ES和耗时求出每个任务的最迟完成时间（Late Finish，LF）。最迟完成时间是每个任务必须在不推迟项目结束日期的情况下完成的最晚日期。计算最迟完成时间我们从最后一个任务H开始，具体如下：

任务H的LF为26，同时任务H的EF为26。我们可以得到H任务的LS为20和LF为26，浮动时间为6。因为H任务没有浮动时间，所以关键路径中必须包含H任务。

任务G的LF为26，因为H任务的前置任务包括F和G，F任务的LF为20，G的LS为16。根据LF的定义，F任务的LF是H任务的LS-6，所以F任务的LF是20，G任务的LS是E任务的EF，所以G任务的LF是21。G任务有浮动时间，其浮动时间是LF- EF=26-21=5天。

任务E的LF等于G和F的ES的较小值减去1，因为G任务的ES是16，F任务的ES是16，所以E任务的LF是15。E的LS是13，所以E没有浮动时间。

任务D的LF等于F的ES-1，因为F任务的ES是16，所以D任务的LF是15。D的LS是10，所以D任务没有浮动时间。

任务C的LF等于E的ES-1，因为E任务的ES是13，所以C任务的LF是12。C的LS是5，所以C任务没有浮动时间。

任务B的LF等于E的ES-1，因为E任务的ES是13，所以B任务的LF是12。B的LS是5，因此B任务没有浮动时间。

最后，任务A的LF等于D、B和C的EF的较小值减去1，因为D任务的EF是10，B任务的EF是11，C任务的EF是13，所以A任务的LF是12。任务A的LS是0，因此A任务没有浮动时间。

通过对每个任务的时间和关系的分析，我们可以确定该项目的关键路径是A-D-F-H，最短时间为26天。