最优查找树和次优查找树

在计算机科学中，查找树是一种有序数据结构，用于存储和检索数据。最优查找树和次优查找树是两种重要的查找树类型，它们都试图通过优化树节点的搜索时间来提高树的性能。本文将从多个角度分析最优查找树和次优查找树，探讨它们的实现、应用、优缺点等方面。

最优查找树

最优查找树（Optimal Binary Search Tree，简称OBST）是指在所有可能的二叉查找树中，查找某个节点所需的平均比较次数最小的树。OBST可以通过动态规划算法来构造。它是用于读者查找 标识符且 标识符出现的概率已知 时优化查找路径的最优方案。

其中，动态规划分为三个步骤：

（1）确定子问题；

（2）列出递推公式；

（3）确定边界条件。

在OBST算法中，假设有n个关键字和其对应的距离，以及节点出现概率列表P和Q，其中P是关键字出现概率列表，Q是节点出现概率列表，其中包括虚拟节点，使得n个关键字形成n+1个区间。定义e(i,j)为子树i到j的期望代价，w(i,j)表示从i到j的权值之和，则可以计算出e和w：

w(i,j) = qi

i <= k <= j

w(i,j) = wk + w(i,k-1) + w(k+1,j)

e(i,j) = w(i,j) + min(e(i,k-1) + e(k+1,j))

此处0<= i <= k <= j <= n。

该算法可以构建出最优查找树。

次优查找树

次优查找树（Secondary Binary Search Tree，简称SBST）是相对OBST来说的，它是指在剩余的所有可能的二叉查找树中，查找某个节点所需的平均比较次数次于OBST的树。它可以通过贪心算法或从OBST中删除某些节点来构建。

其中，贪心算法可以采用插入式方法或节点交换法，此处只介绍节点交换法。在SBST算法中，首先通过OBST算法构建出一棵最优查找树，然后通过三个步骤来删除OBST中的两个节点。

（1）选择一条叶节点到根节点的路径，该路径上节点的唯一后继是位于该路径上的某个右孩子；

（2）断开路径上所选节点与其唯一后继之间的连边；

（3）将所选节点的某个右孩子连接到其唯一后继上。

经过多次迭代后，可以得到一棵次优的查找树。

实现和应用

最优查找树和次优查找树可以通过代码实现。对于OBST，动态规划需要考虑到所有结点的可能性，时间复杂度为$O(n^3)$。对于SBST，可以直接在OBST中进行节点交换，时间复杂度为$O(n^2)$。

最优查找树和次优查找树在实际应用中有着广泛的运用。例如，它们可以用在编译器中，动态规划的思想可以被应用于代码优化。还可以用于数据库系统中，通过OBST或SBST优化索引的查找时间。此外，它们也可以用在文本搜索和自然语言处理的领域。

优缺点

最优查找树和次优查找树都有其优缺点。OBST可以提供最优查找性能并保证数据操作的正确性，但需要计算大量的概率和动态规划，计算复杂度高。SBST则可以在OBST的基础上快速实现次优查找性能，但它只能获得次优而不是优的性能，并且可能会引入多次节点交换。