第5关 矩阵连乘问题

矩阵是计算机科学中应用非常广泛的一种数据结构，而在矩阵计算中，矩阵连乘问题是一个重要的内容。矩阵连乘问题就是对于一系列矩阵进行连乘，求解这个连乘积的最小代价。

矩阵连乘问题的意义

矩阵是计算机图形学、人工智能、数据处理等领域中常使用的一种数据结构。在实际应用中，我们经常需要对一系列矩阵进行计算，而矩阵连乘问题就是求解连乘积的最小代价，对于优化计算效率和提高程序执行速度具有重要意义。比如在图像处理中，其中的卷积运算就可以看作是两个矩阵的乘积，求解这个乘积的最小代价可以有效提高图像处理算法的执行速度。

矩阵连乘问题的解法

对于矩阵连乘问题，一种最常见的解法是动态规划。首先需要定义一种状态，我们可以设一个二维数组m[i][j]来表示从矩阵i到矩阵j的连乘积的最小代价。然后，我们再引入一个数组s[i][j]，它表示对于区间（i，j）最优的断点k。也就是说，我们可以将m[i][j]的计算过程划分为以下三个步骤：

1.初始化：对于任意i，m[i][i] = 0，因为一个矩阵自身的代价为0。

2.状态转移方程：对于i < j，可以将区间（i，j）划分为（i，k）和（k+1，j）两个子区间，那么m[i][j]的最小代价就可以根据m[i][k]和m[k+1][j]进行计算，即，

m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j]}

其中p表示矩阵的维度。

3.输出结果：最后输出m[1][n]即为所求的答案。

矩阵连乘问题的时间复杂度分析

动态规划实现矩阵连乘问题，其时间复杂度为O(n^3)，其中n表示矩阵的个数。这是因为需要计算每一个m[i][j]的值，每个m[i][j]的计算需要枚举k，因此总共需要计算n2个m[i][j]，而每个m[i][j]的计算需要O(n)的时间，因此总时间复杂度为O(n^3)。

然而，这个时间复杂度并不是最优的，因为如果采用分治算法，就能将时间复杂度优化到O(n^2 logn)。分治算法的思路是，将矩阵分成两个或更多的子问题求解，然后对子问题的解进行合并。不同之处在于，分治算法采用了一些技巧将计算量减小，例如通过记忆化搜索等方式减小重叠子问题的计算量。

矩阵连乘问题扩展应用

除了在矩阵计算中的应用，矩阵连乘问题还有一些扩展应用，例如：

1.字符串匹配：字符串匹配算法中的KMP算法就是按照矩阵连乘的思路计算出一个前缀和后缀匹配长度的连乘积。

2.贪心算法：矩阵连乘问题可以看作是一个动态规划问题，而同样可以采用贪心算法来解决。贪心算法的思路是每次选取乘积最小的两个矩阵进行连乘，直到只剩下一个矩阵为止。

3.网络流：矩阵连乘问题可以看作是一个网络流问题，其中可以把每个矩阵看作是一个节点，把矩阵间的乘法看作是节点间的通路。