矩阵连乘的递归形式

矩阵连乘是一种经典算法问题，其主要目标是最小化进行矩阵相乘所需要的标量乘法次数。在这个问题中，我们有一系列的矩阵需要相乘，我们需要找到一种最优的矩阵相乘顺序，使得在完成所有的相乘操作后需要的标量乘法次数最少。

递归形式是解决矩阵连乘问题的一种常用算法形式。我们可以将矩阵连乘问题分解为子问题，逐步求解并得到最优的矩阵相乘顺序。

首先，我们需要定义一些变量来帮助我们描述问题。设A1、A2、A3、……、An为n个矩阵，其中Ai与Ai+1是可以相乘的。我们将矩阵相乘的顺序表示为一个序列，例如(A1A2)(A3A4)表示先将矩阵A1和A2相乘，然后将矩阵A3和A4相乘，最后将得到的两个矩阵相乘。我们用m[i,j]来表示从Ai到Aj的矩阵相乘所需要的最少的标量乘法次数。

接下来，我们可以考虑递归的方式来解决这个问题。假设我们需要求解的是从A1到An的矩阵相乘所需要的最少的标量乘法次数，我们可以将其分解为A1到Ak和Ak+1到An这两部分。因此，m[1,n]的值可以通过求解m[1,k]和m[k+1,n]得到。根据定义，我们可以将m[i,i]的值设置为0，因为相当于一个矩阵相乘。

接着，我们需要考虑如何计算m[i,j]的值。假设我们将k设置为i，那么m[i,j]的值为0。当k>i时，m[i,j]的值可以通过m[i,k]+m[k+1,j]+p[i-1]*p[k]*p[j]计算得到，其中，p[i-1]是第i个矩阵的行数，p[j]是第j个矩阵的列数。因此，我们需要从k=i+1到j-1的范围内枚举k，找到使得m[i,k]+m[k+1,j]+p[i-1]*p[k]*p[j]值最小的k值，并将其作为m[i,j]的值。

最后，当我们求解出m[1,n]的值后，就可以得到最优的矩阵相乘顺序。具体来说，我们可以定义一个s[i][j]数组，用来记录从Ai到Aj之间进行矩阵相乘所得到的最优的k值。因此，当我们求解出m[1,n]的值后，就可以通过s数组反向推导出最优的矩阵相乘顺序。

总之，矩阵连乘问题是一种经典的算法问题，递归形式是解决这个问题的一种常用方式。我们可以通过将问题分解为子问题并逐步求解的方式来得到最优的矩阵相乘顺序。