定义随机变量的分布函数

随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，是对随机事件的量化描述。而随机变量的分布函数则是对随机变量概率分布的一个数学描述。

一、随机变量的基础概念

随机变量是指一种随机事件或随机试验的结果（即数值），并且其取值是由一个或多个概率变量所决定的。一般地，随机变量可分为离散型和连续型两种。

对于离散型随机变量来说，其取值为取有限个或无限个不连续的值。例如，投硬币的结果（正面或反面）、骰子的结果（1至6）、某部门员工的工作年限（1年、2年、3年、……）、某家庭拥有的汽车数量（1辆、2辆、3辆、……）等。

而对于连续型随机变量来说，取值为连续的实数集合（即区间）。例如，某生产工厂的产品长度、某车间一天内机器的故障时间、某高中生的身高等。

二、分布函数的基本概念

分布函数是随机变量分布的一个数学描述，它描述的是随机变量小于等于某个值时的概率。在连续型随机变量中，其分布函数定义为：

F(x) = P(X ≤ x)

对于离散型随机变量来说，分布函数则可描述为：

F(k) = P(X ≤ k)

其中，X为随机变量，x或k为具体的取值。

分布函数具有以下性质：

（1）F(x)是单调不减的右连续函数；

（2）当x→+∞时，F(x)趋近于1；当x→-∞时，F(x)趋近于0。

三、常见分布函数

1、正态分布函数

正态分布函数又称高斯分布函数，它的分布函数描述式为：

F(x) = ∫（-∞，x）1/（2π）1/2exp[-(t-μ)²/2σ²]dt

其中，μ为数学期望，σ²为方差，exp为指数函数。

正态分布函数具有中心对称性、峰型高低适中、分布范围广等特点，是对于实际情况描述比较准确的一种分布函数。

2、泊松分布函数

泊松分布函数用来描述单位时间或单位面积内某事件发生的次数，其概率密度函数为：

P(X=k) = (λ^k exp(-λ))/k!

其中，λ为单位时间或单位面积内该事件发生率的期望值。

泊松分布函数具有分布随机性、方差等于期望、与时间或面积相关等特点，在实际应用中比较广泛。

3、指数分布函数

指数分布函数用来描述一些等待事件的时间间隔，其概率密度函数为：

f(t) = λexp(-λt)

其中，λ为事件发生率。指数分布函数的期望值为1/λ。

指数分布函数具有单峰性、分布随机性、无记忆性等特点，在实际应用中也有着广泛的应用。