线性规划化为标准型例题

线性规划（Linear Programming，LP）是数学和运筹学中的一个重要分支。它以线性约束条件和线性目标函数为基础，通过最小化或最大化目标函数的值，找到满足约束条件的最优解。而线性规划的标准型是指将一般的线性规划问题通过一些特定的规则和技巧转化为标准形式进行求解的过程。

为了更好的理解线性规划的标准型，下面将结合实例，从规范化、转化、标准形式等多个角度来进行分析。

一、规范化

规范化是将问题进行转化成 LP 标准型的第一步。这里以一个简单的例子来说明：

Maximize 2x – 3y + 4z

Subject to:

x + 2y + 3z ≤ 5

2x – y + 5z ≥ 10

x, y, z ≥ 0

首先，我们需要将目标函数的形式符合标准形式的要求，也就是需要将最大化转化为最小化，因为大多数线性规划问题都是最小化问题，还需要将目标函数中的常数项移到约束条件的左边，得到标准化的形式：

Minimize -2x + 3y - 4z

Subject to:

x + 2y + 3z ≤ 5

-2x + y - 5z ≤ -10

x, y, z ≥ 0

接下来，我们需要对约束条件进行规范化处理。这里需要将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量或人工变量。特别地，对于大于等于约束条件，需要引入松弛变量，而小于等于约束条件，需要引入人工变量。同时，为了将约束条件转化为等式约束，还需要将松弛变量或人工变量加到约束条件的右边，得到如下的表达式：

Minimize -2x + 3y - 4z

Subject to:

x + 2y + 3z + s1 = 5

-2x + y - 5z + s2 = -10

x, y, z, s1, s2 ≥ 0

二、转化

标准化之后，我们还需要将目标函数和约束条件进行转化，从而得到 LP 的标准形式。具体来说，我们需要将目标函数和约束条件都转化为矩阵乘法的形式。

首先，我们需要将目标函数写成如下的形式：

Minimize c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Subject to:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn + s1 = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn + s2 = b2

...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn + sm = bm

x1, x2, ..., xn ≥ 0

其中，c1, c2, ..., cn 为目标函数的系数，a11, a12, ..., amn 为约束条件中的系数，而 b1, b2, ..., bm 则是约束条件的右边的常数项。

进一步地，我们可以将上式表示成如下的形式：

Minimize cTx

Subject to:

Ax = b

x ≥ 0

其中，cTd表示向量 c 的转置，x 和 b 为向量，A 是 m×n 的矩阵。这种形式被称为标准型，也是线性规划问题的标准形式。

三、标准形式

标准型具有一些优越的性质。例如，标准型具有唯一最优解的性质，因此可以通过计算矩阵的逆来求解。此外，标准型还可以应用线性规划的各种基本定理和算法，使得问题的求解变得更加简单和方便。

例如，上面介绍的例子可以表示成如下的标准型：

Minimize [-2 3 -4] [x1, x2, x3]

Subject to:

[1 2 3] [x1, x2, x3, s1, 0] = [5]

[-2 1 -5] [x1, x2, x3, 0, s2] = [-10]

x1, x2, x3, s1, s2 ≥ 0

可以看出，标准型的形式变得更加简洁和直观，易于理解和求解。

综上，线性规划化为标准型的过程需要从规范化、转化和标准形式等多个角度进行分析和理解。只有掌握了线性规划的标准型，才能更好地应用各种线性规划算法，解决实际问题。