完全二叉树和满二叉树的定义

在计算机科学中，二叉树是一种重要的数据结构，被广泛应用于各种算法和数据处理中。二叉树的重要性在于其具备了优秀的时间复杂度，使得算法得以高效地运行。而完全二叉树和满二叉树则是二叉树中的两种特殊形式，它们有各自的定义和特点，非常有助于我们理解二叉树的结构及其应用。

一、 完全二叉树的定义

完全二叉树是指，首先，除了最后一层之外，每一层都是满的，即层数为 h-1 层的二叉树，要求有 2^(h-1) 个节点。其次，在最后一层中，节点必须从左向右填满。如下图所示，既满足除了最后一层之外的每一层都是满的，又满足最后一层的从左到右节点填满。


二、 满二叉树的定义

满二叉树是指，除了叶子节点之外，每一个节点都有两个子节点，且所有的叶子节点都在同一层上。如下图所示，节点数 n=2^h-1，这里h=3，所以 n=7。一棵深度为3的满二叉树有7个节点，包含3个叶子，每个叶子都在树的最底层。


三、 两者的区别

完全二叉树和满二叉树的区别在于最后一层上节点的数量。在完全二叉树中，最后一层可能没有填满节点，但是在满二叉树中必须填满。

如果我们将完全二叉树和满二叉树放在一起比较，可以发现它们具有相似的性质。两者的高度相同，但是满二叉树的节点数要比相同高度的完全二叉树节点数多。对于同一深度的节点，完全二叉树的左侧可能会比右侧短，但是满二叉树总是具有相同的节点数。

四、 应用

完全二叉树和满二叉树的定义非常重要，它们被广泛应用于各种计算机科学领域和算法中。下面列举了其中一些应用：

1. 堆排序

堆排序是一种基于堆结构的排序算法，常用于实现优先队列。它可以看作是对完全二叉树的一种实现，通过不断调整堆来实现排序。

2. 区间问题的求解

可能是最常见的应用场景就是「区间问题」。例如，普遍使用的 RMQ 问题 ( Range Minimum Query ，区间最小值问题) 中，相关的数据结构通常是一些基于完全二叉树的「线段树结构」(Segment Tree)。其它一些 DNA 序列匹配算法等也会用到这些数据结构。

3. 二叉树遍历

在两种遍历方式中，完全二叉树通常被用来存储树。

总之，完全二叉树和满二叉树是我们需要了解的基本概念，这些知识在数据结构、算法和计算机科学等领域中都有着广泛的应用。