折半查找的平均查找长度怎么算

折半查找是常用的一种查找算法，它利用有序列表的特性，通过逐步缩小查找范围，最终找到目标元素。在计算机算法分析中，我们通常会用平均查找长度（ASL）来评估查找算法的效率。本文将从多个角度分析如何计算折半查找的平均查找长度，希望能给读者提供参考。

一、什么是折半查找

折半查找（binary search）也称为二分查找，它是一种查找算法，用于在有序列表中查找某一特定元素。它的基本思想是：将有序列表按中间位置分成两个子序列，若中间位置的元素等于目标元素，则查找成功；若中间位置的元素大于目标元素，则查找左半部分；否则查找右半部分。反复执行以上步骤，直到查找成功或者确定不存在目标元素为止。

折半查找的时间复杂度是O(log n)，它比线性查找的时间复杂度O(n)要快得多。但是，在具体实现中，折半查找的效率也会受到某些限制因素的影响，下文将详细介绍。

二、如何计算折半查找的平均查找长度

在计算平均查找长度之前，我们需要知道ASL的定义。平均查找长度指的是在查找过程中平均比较次数的统计值。统计的范围从查找表的开始查找位置算起，取到查找表的所有数据。

那么，如何计算折半查找的平均查找长度呢？我们可以按照以下步骤进行计算：

1. 建立模型。模型的建立需要确定何时查找成功、何时查找失败、查找成功时的查找长度、查找失败时的查找长度等基本概念和数据。

2. 统计查找成功的概率。成功的概率跟目标元素在有序列表中出现的位置有关。因为每次查找是通过判断目标元素与中间元素的大小关系来缩小查找范围的，所以目标元素在有序列表中的位置越靠近中间位置，查找成功的概率就越高。如果目标元素在有序列表中的位置等可能地分布，那么查找成功的概率就是1/n。

3. 统计查找失败的概率。失败的概率就是1-成功的概率。

4. 计算查找成功时的平均查找长度。查找成功时的平均查找长度取决于查找表的长度和目标元素在有序列表中的位置。如果查找表的长度是n，目标元素在有序列表中的位置是i，那么查找成功时的平均比较次数就是log2(i)+1。

5. 计算查找失败时的平均查找长度。查找失败时的平均查找长度取决于查找表的长度。如果查找表的长度是n，那么查找失败时的平均比较次数就是log2(n)+1。

6. 计算平均查找长度。平均查找长度等于成功时的平均查找长度乘以成功的概率加上失败时的平均查找长度乘以失败的概率。即ASL = (log2(i)+1) * 1/n + (log2(n)+1) * (1-1/n)。

三、影响折半查找效率的因素

在实际应用中，折半查找的效率也会受到以下几个因素的影响：

1. 数据结构。如果数据存储方式不是数组，比如链表，那么每次访问数据的效率会降低。

2. 数据分布。如果待查找的元素在有序列表的左侧或右侧，那么查找的效率会受到较大影响。

3. 整除速度。由于折半查找要求将查找区间缩小至一半，因此要求计算机可以高速地进行除2操作。

4. 存储结构。如果在存储过程中元素的有序性不是很好地体现，那么折半查找的效率也会受到影响。