贪心算法经典例题的流程图

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种贪婪地选择当前最优解来达到全局最优解的算法。在许多实际问题中，贪心算法能够很好地解决一些经典问题。本文将以经典例题——背包问题，为例，介绍贪心算法的流程图和应用。

一、问题描述

我们有一个背包，它的容量是 C。现在我们有 n 种不同的物品，编号为 1,2,...,n，其中每种物品都有一个重量 w(i) 和一个价值 v(i)。我们希望选出若干个物品，使它们的总重量不超过 C，并且总价值最大。其中，每种物品只有一个。

二、贪心策略

1. 按单位重量价值从大到小的顺序对所有物品进行排序。

2. 依次将单位重量价值最大的物品放入背包中，若物品质量大于背包容量则将其拆分成多个部分放入背包中。

三、贪心算法的正确性证明

为了证明贪心算法得到的解一定是最优解，我们需要利用反证法。

假设存在一种方案 S 不是最优解。我们设最优解为 S*，将 S 与 S* 进行逐位比较：

1. 比较过程中，前 k 种物品在 S 和 S* 中都相同，且它们的重量之和不超过 C。假设这 k 种物品重量之和为 W，它们的单位重量价值在 S 和 S* 中是相等的。

2. 比较第 k+1 种物品，在 S 中被选择，在 S* 中没被选择。假设该物品重量为 w(k+1)，价值为 v(k+1)。则 S 中该物品占用的背包容量为 W+ w(k+1)，而 S* 中该物品没有选中，只使用了前 k 种物品，它们占用的背包容量为 w，其中 w ≤ C-w(k+1)。

3. 比较剩下的物品，在 S 与 S* 中是相同的。它们的重量之和在 S 与 S* 中也是相同的。

根据假设，S 不是最优解，因此 S* 的总价值一定比 S 大。

现在我们对 S 和 S* 的最后一个物品进行分析：

在 S 中，我们选择了单位重量价值最大的物品，即第 k+1 种物品。

在 S* 中，由于前 k 种物品的单位重量价值与 S 相等，因此第 k+1 种物品的单位重量价值一定小于它。因此，选择第 k+1 种物品一定不会使 S* 变得更劣。

由此可知，假设不成立。因此，我们证明了最优解一定是按照贪心策略得到的解。

四、贪心算法流程图

1. 对所有物品按单位重量价值从大到小排序。

2. 初始化背包容量 C0 和当前总价值 V0 为 0。

3. 对于每个物品 i，检查是否可以将其放入背包中。

（1）如果该物品可以完全放入背包中，则将其放入背包中，并更新背包容量和总价值。

（2）如果该物品无法完全放入背包中，则将其部分放入背包中，并更新背包容量和总价值。

（3）如果该物品无法放入背包中，则忽略该物品并检查下一个物品。

4. 返回当前总价值 V0 作为解。

以上即为贪心算法流程图。

五、应用举例

背包问题是贪心算法最经典的例题之一。实际上，许多问题都可以使用贪心算法进行解决。例如，最小生成树问题、哈夫曼编码问题、活动选择问题等。

此外，贪心算法还有许多变体和扩展，例如带权并查集、区间调度问题、机器调度问题等。