特征分解怎么计算

特征分解是一种数学工具，用于将矩阵分解成其特征向量的线性组合，这在很多领域都有广泛应用，例如数据降维、信号处理、机器学习、图像处理等。那么，特征分解怎么计算呢？从下面几个角度来介绍。

1.数学定义

特征分解指的是对于任意一个正方形矩阵A，可以分解成矩阵P、D和P^{-1}的形式，其中P是大小和A相同的可逆矩阵，D是一个对角线矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。即A=P×D×P^{-1}。

2.计算方法

关于如何计算特征分解，有多种方法可供选择，其中最常用的有幂迭代法和QR分解法。

（1）幂迭代法

幂迭代法是计算一个矩阵A的最大特征值和相应特征向量的标准方法。它的基本思想是，通过多次迭代将一个向量反复作用于矩阵A上，并不断更新该向量的方向和幅值，直到收敛为止。具体而言，可以先随机生成一个n维向量x0，然后反复迭代计算xn=A^n x0，直到xn收敛为止（或达到设定的最大迭代次数）。此时，A的最大特征值就是xn的幅值，相应的特征向量就是xn的方向。

（2）QR分解法

QR分解法是将一个矩阵A分解成一个单位正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积的方法。具体而言，可以先通过Gram-Schmidt正交化方法将A的列向量变成正交向量，得到一个正交矩阵Q。然后，将Q^T A乘以Q，得到一个上三角矩阵R，即QR分解。利用QR分解可以计算A的特征值和特征向量，具体步骤包括：

① 对A做QR分解，得到A=QR。

② 将R的对角线元素作为A的特征值。

③ 递归地将Q^T和R分别作为新的A的QR分解，得到A的每个特征向量。

3.优缺点

从计算效率、数值稳定性和适用范围等角度来比较，幂迭代法和QR分解法各有优缺点。幂迭代法具有计算成本低、易于实现和解决大规模问题的优点。但是，它的收敛速度很慢，而且只能够求解最大特征值和相应特征向量。QR分解法则可以同时计算多个特征值和相应特征向量，具有数值稳定性好、收敛速度快和误差控制好的优点，但是在处理大规模问题时计算成本较高。