动态规划算法经典题目

动态规划算法是一种被广泛应用于计算机科学中的优化计算方法，它主要用来解决最优化问题。动态规划算法的核心思想是将原问题分解为若干个子问题，逐一求解并记录结果，然后根据这些结果得到原问题的最优解。在动态规划算法的应用中，常见的一个重要问题是如何确定最优子结构。

从背包问题到最短路径问题，我们可以把许多算法都归为动态规划算法，如背包问题、最小路径和、整数拆分、最长递增子序列、编辑距离等等。下面我们来看看几个经典的动态规划算法问题。

1. Fibonacci数列问题

Fibonacci数列是由意大利数学家Leonardo Fibonacci在文献《算盘书》中提出的：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ……，其规律是从第三项开始，每个数都等于前两项之和。求一个给定n的Fibonacci数列值，可以使用递归算法，但是时间复杂度为指数级别，效率非常低。如果使用动态规划算法的思路，则可以在O(n)的时间复杂度下解决该问题。

2. 最长公共子序列问题

最长公共子序列问题是指：给定两个字符串S和T，求它们的最长公共子序列，即S和T中最长的相同子序列。这个问题可以使用动态规划算法来解决，核心思想是将S和T分别拆分成若干个子问题，并记录求得的结果，从而得到最终的答案。

3. 最长递增子序列问题

在一个序列中，找到一个最长递增子序列，长度最长。例如，对于序列{1, 0, 3, 2, 4, 5}，最长递增子序列为{1, 3, 4, 5}，长度为4。同样可以使用动态规划算法解决该问题，具体实现方法与最长公共子序列问题类似。

4. 最大子段和问题

给定一个包含n个整数的序列，求序列中连续子序列的最大和，例如，对于序列{-2, 11, -4, 13, -5, -2}，其最大子段和为{11, -4, 13}，总和为20。这个问题也可以使用动态规划算法来解决，具体实现方法与上述问题类似。

总之，动态规划算法可以用来求解多个NP问题，并且已经被广泛应用于各个领域，如生物信息学、数字信号处理、操作系统、计算机视觉等等。虽然很多问题的解法都可以采用经典的动态规划算法，但是实际应用中，由于问题复杂度的不同，也有很多需要根据实际情况进行改进的算法。