数组二叉树的遍历

在数据结构中，二叉树是一种非常重要的数据结构，常用来构建搜索树、堆栈以及表示表达式等。数组二叉树则是一种非常常见的表示方式，其可以将一个二叉树以数组的形式表示出来。本文将从多个角度分析数组二叉树的遍历，包括什么是数组二叉树、数组二叉树的遍历方法以及其应用等方面。

一、什么是数组二叉树

数组二叉树，简单来说就是将一个二叉树的节点以数组的形式进行存储。其存储方式与二叉堆类似，以完全二叉树为例，第i个节点的左子节点为2*i, 右子节点为2*i+1，其父节点为i/2。

二、数组二叉树的遍历方法

数组二叉树与普通的二叉树一样，其遍历方式有三种：先序遍历、中序遍历和后序遍历。这三种遍历方法是通过递归和迭代两种方式实现的。

1. 先序遍历

先序遍历即按照根结点、左孩子和右孩子的顺序遍历。实现方式可以通过递归和迭代两种方式，下面分别介绍一下。

递归实现：

```

void preOrder (int i) {

if (i <= n) {

cout << a[i] << endl;

preOrder(i * 2);

preOrder(i * 2 + 1);

}

}

```

迭代实现：

```

void preOrder (int i) {

stack s;

s.push(i);

while (!s.empty()) {

int t = s.top();

s.pop();

cout << a[t] << endl;

if (t * 2 + 1 <= n) s.push(t * 2 + 1);

if (t * 2 <= n) s.push(t * 2);

}

}

```

2. 中序遍历

中序遍历即按照左孩子、根结点和右孩子的顺序遍历。实现方式可以通过递归和迭代两种方式，下面分别介绍一下。

递归实现：

```

void inOrder (int i) {

if (i <= n) {

inOrder(i * 2);

cout << a[i] << endl;

inOrder(i * 2 + 1);

}

}

```

迭代实现：

```

void inOrder (int i) {

stack s;

while (!s.empty() || i <= n) {

while (i <= n) {

s.push(i);

i = i * 2;

}

int t = s.top();

s.pop();

cout << a[t] << endl;

i = t * 2 + 1;

}

}

```

3. 后序遍历

后序遍历即按照左孩子、右孩子和根结点的顺序遍历。实现方式可以通过递归和迭代两种方式，下面分别介绍一下。

递归实现：

```

void postOrder (int i) {

if (i <= n) {

postOrder(i * 2);

postOrder(i * 2 + 1);

cout << a[i] << endl;

}

}

```

迭代实现：

```

void postOrder (int i) {

stack s1, s2;

s1.push(i);

while (!s1.empty()) {

int t = s1.top();

s1.pop();

s2.push(t);

if (t * 2 <= n) s1.push(t * 2);

if (t * 2 + 1 <= n) s1.push(t * 2 + 1);

}

while (!s2.empty()) {

int t = s2.top();

s2.pop();

cout << a[t] << endl;

}

}

```

三、数组二叉树的应用

数组二叉树主要应用在一些需要快速查询的场景，例如求最大值、最小值、排序等。其常用的应用包括：堆排序、哈夫曼编码、最小生成树等算法。

堆排序：使用数组二叉树来存储堆的结构，进行堆排序可以取得O(nlogn)的时间复杂度，是一种十分高效的排序方式。

哈夫曼编码：哈夫曼编码是一种进行数据压缩的方法，通过构建哈夫曼树，可以将某些字符进行压缩，其构建方式就是通过优先队列，即使用数组二叉树来存储。

最小生成树：最小生成树是一种求解连通图中的最短路径问题，其中Prim算法和Kruskal算法就是使用数组二叉树来存储连通图来实现的。