正规式构造最简dfa例题

正规式(Regular Expression)在计算机科学中被广泛应用于字符串匹配、文本处理等领域。在正规式的基础上，可以构造出有限状态自动机(Finite State Automaton, DFA)，用于对文本进行匹配、识别等操作。本篇文章将从正规式创建最小DFA、最小化步骤、等价状态、求解过程等角度分析正规式构造最简DFA例题。

一、正规式创建最小DFA

给定正规式R，为了构造最小DFA，需要将正规式转换为等价的NFA(非确定有限状态自动机)。通过Thompson算法(Thompson Construction)可以将正规式转换为NFA。接着，通过子集构造算法(Power Set Construction)将NFA转换为DFA。这样就得到了一个由状态、转移函数、接受状态组成的最小DFA。

二、最小化步骤

在得到DFA之后，需要对它进行最小化，以更好地解决某些问题，如最短识别、状态数减少等。最小化DFA可以采用Hopcroft-Karp算法、Brzozowski算法、Myhill–Nerode定理等。其中，Hopcroft-Karp算法是一种广泛使用的方法，它将DFA中的状态集划分为互不相交的等价集合。

三、等价状态

为了最小化DFA，首先需要判断哪些状态被认为是等价的。两个状态在以下情况下是等价的：它们根据不同输入应该进入相同的状态，并且它们可以以相同的方式到达终止状态。通过比较状态的前缀和后缀，可以直接判断哪些状态是等价的。

四、求解过程

举个栗子：给定正规式R=(a|b)*abb，根据Thompson算法将其转换为NFA后，得到以下状态转移图：


将NFA转换为DFA后，得到以下状态转移图：


为了使该DFA最小化，需要对其进行状态划分：

1.将非终止状态和终止状态分成两组。

2.将所有非终止状态分为由a转移和由b转移两组。

3.使用Hopcroft-Karp算法，根据相互可达性进一步划分状态。

最后得到的最小化DFA如下图所示：


经过化简，该DFA只有3个状态，较之原DFA大为简洁。因此，一般情况下将DFA最小化是很有必要的。