动态规划法求最长递增子序列问题

在计算机科学中，子序列是一个序列的一个连续子集。对于一个给定序列，最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）是指在该序列中找到一个子序列，使得该子序列中的元素按照目标规则严格递增（非递减也可以），且是所有满足该规则的子序列中最长的。

这个问题的解决方法有很多，其中就包括了动态规划法。本文将就动态规划法解决最长递增子序列问题展开探讨。

1. 问题分析

首先，我们需要了解一下最长递增子序列问题的一些基本性质。

在定义中，我们说递增是按照目标规则的严格递增。这个规则可以是不同的，例如数值大小、字典序、长度等。同样地，我们在实现具体的算法时，也可以自己定义递增规则。

此外，该问题并没有唯一的解，可能存在多个最长递增子序列。

2. 动态规划法解决方案

a. 子问题的定义

对于一个长度为n的序列a，我们要求出其最长递增子序列的长度L。考虑该问题的子问题：以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度Li。

这个子问题的解决将有很大的启发式作用。因为，当我们求得了每个以ai为结尾的最长递增子序列的长度时，我们只需要将它们的最大值即可获得原序列a的最长递增子序列的长度L。

b. 子问题的求解

那么如何求这个子问题的解呢？

由于Li是以第i个元素结尾的，因此我们可以通过枚举i之前的元素来获得对Li的贡献。具体来说，我们可以令以aj结尾的最长递增子序列的长度为Lj（j

Li = max{ Lj+1 } (j

这个式子的意思是，如果我们想要让以ai结尾的最长递增子序列包含某个aj，那么就需要在以aj结尾的最长递增子序列中加上一个数ai。由于这个条件是aj

c. 代码实现

上述算法中，我们需要枚举i之前的所有元素。由于这个过程的时间复杂度为O(n)，如果我们不采用任何优化，那么整个算法的时间复杂度将是O(n^2)。

但是，在实际中，我们可以采用一些优化来降低时间复杂度。例如，我们可以使用二分查找算法来替代线性查找，这样就可以将时间复杂度降低到O(nlogn)。

下面的代码实现就包括了这个优化：

```

def longestIncreasingSubsequence(arr):

n = len(arr)

dp = [0] * n

len = 0

for i in range(n):

lo, hi = 0, len

while lo < hi:

mid = (lo + hi) // 2

if dp[mid] < arr[i]:

lo = mid + 1

else:

hi = mid

dp[lo] = arr[i]

len = max(len, lo + 1)

return len

```

3. 总结

本文就动态规划法解决最长递增子序列问题展开了探讨。我们了解了这个问题的一些基本性质，并提出了动态规划法的解题思路。此外，我们也给出了一个实现，并讨论了一些时间复杂度优化的方法。

从本文中，我们可以学到许多算法设计的技巧，例如分析子问题、寻找贡献关系等。这些技巧对于解决其他问题同样具有指导意义。