高中数学投影向量公式

在解决平面内向量问题时，我们经常会使用到投影向量的概念。那么，什么是投影向量？投影向量的概念从何而来？而高中数学中的投影向量公式又是怎样的呢？下面我们就来一探究竟。

一、什么是投影向量？

在求解向量问题时，投影向量的概念很重要。简单来说，投影是指在一个向量上投下垂线，垂线的长度就是该向量在投影方向上的投影长度。而从投影点连向向量所在直线所作的向量，则称为该向量在该方向上的投影向量。

二、投影向量的应用

投影向量的应用十分广泛。在几何问题中，投影向量常用于求向量之间的夹角，也可用于判断向量的共线与垂直。在物理学中，投影向量被用来计算物体在某个方向上的加速度、速度等物理量。

三、投影向量公式

在解决平面内向量问题中，高中数学中最经典的投影向量公式要数正交分解。所谓正交分解，就是将一个向量分解为两个分量，其中一个分量与给定向量垂直，另一个分量与之平行。在平面直角坐标系中，向量a的投影向量为a∥，垂直向量为a⊥，则有以下投影向量公式：

a = a∥ + a⊥

其中，a∥ = (a•u)u，表示a在u方向上的投影向量；a⊥ = a - a∥，表示a在与u垂直的方向上的投影向量。

四、投影向量的性质

1. 当u为单位向量时，a与u之间的投影长度为a•u。

2. 投影向量a∥与u方向相同，a⊥与u方向垂直。

3. 投影向量具有可加性，即有(a+b)∥=a∥+b∥，(a+b)⊥=a⊥+b⊥。

五、实例分析

现在，我们来看一个例子，加深对投影向量公式的理解。假设有一个向量a＝（1，2），我们要求a在u＝（3，4）方向上的投影向量。

首先，我们求得向量u的模长：|u|＝√（3²＋4²）＝5

其次，求得单位向量u'，可得 u'＝（3/5，4/5）。

然后，根据投影向量公式，可得 a∥＝(a•u')u'＝（1×3/5，2×4/5）＝（3/5，8/5）。

最后，求得a在与u垂直的方向上的投影向量，即 a⊥＝a - a∥＝（1，2）－（3/5，8/5）＝（2/5，2/5）。

因此，得到向量a在u方向上的投影向量为a∥＝（3/5，8/5），而a在与u垂直的方向上的投影向量为a⊥＝（2/5，2/5）。