柏拉图二八线绘制步骤

柏拉图二八线是指平面上任意一个正方形的对角线将这个正方形分成 8 个三角形，在两个相邻的小三角形面积之比为 2：1 的直线。这条神奇的线性运算在数学中有着广泛的应用，如在三角函数的图象中，会出现柏拉图二八线的痕迹。

本文将从历史、数学、绘图等多个角度展开，为大家详细介绍柏拉图二八线绘制步骤。

历史角度

柏拉图二八线是以古希腊哲学家柏拉图（约公元前427-约公元前347）命名的。他的《理想国》中讲到，存在着一个理想的国家，只有哲学家才有能力领导，哲学家是以马克思主义的社会历史观为基础进行哲学研究和指导实践的。而这个国家必须要有一种理论上的支撑，于是乎他提出了“柏拉图二八线”，指这种哲学上的支撑要以形式逻辑的形式加以表达。

数学角度

在数学中，柏拉图二八线又叫作“黄金分割点”，就是把一个线段分成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其实这个比例是一个无理数，被称为黄金分割比$\varphi$，等于$\frac{1+\sqrt5}{2}$。

具体到柏拉图二八线的计算公式为：

设正方形的边长为 $a$，则 $\overline{AC}: \overline{CD} = 2:1$，如图所示：


假设 $A(0,0)$, $B(a,a)$，其次连 $BD$ 交 $AC$ 于点 $N$。但是，直接求交点是比较困难的，需要使用一些数学知识。

可以思考一下：显然(0,a)在$AC$上，上式可化为$\frac{x_{(0,a)}-x_N}{x_D-x_N}=\frac{2}{3}$。同样地，(a,0)在$BD$上，上式可化为$\frac{y_{(a,0)}}{y_B-y_{(a,0)}}=\frac{1}{3}$。两式联立，得到

$$\begin{cases}3x_{(0,a)}-2x_D-x_N=0\\ y_{(a,0)}-3y_{(0,a)}+2y_B=0 \end{cases}$$

求解方程组，解得

$$\begin{cases}x_N=\frac13 a\\ y_{(a,0)}=\frac13 a\end{cases}$$

于是，$\overline{BD}$ 与 $\overline{AC}$ 的交点 $N(\dfrac13 a,\dfrac13a)$ 就是黄金分割点。

绘图角度

绘制柏拉图二八线可以有多种不同的方法。

下面介绍一种简单的方法：

1. 创建正方形

打开画图软件，在画布上绘制一个正方形。可以使用绘制矩形的工具来制作。可以使用制作正方形的工具来制作。

2. 绘制对角线

使用直线工具，从正方形上角绘制对角线。

3. 将正方形按对角线分成8个三角形

使用直线切割工具，把正方形按对角线分成8个三角形。

4. 通过连接点来寻找黄金分割点

使用直线工具，连接正方形和三角形的某些点。将生成的直线与正方形相交的地方就是黄金分割点。

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