无向图的顶点的度怎么算

无向图中，顶点的度数指的是与该顶点相邻的边的条数。这是一个非常基础的概念，但对于初学者来说可能存在一些疑惑。在本文中，我们从多个角度来分析无向图的顶点的度数计算方法。

一、基础概念

在无向图中，每个顶点都对应着一些边。一个顶点的度数，就是与该顶点相邻的边的数目。在计算度数时，通常认为每条边只会被计算一次。

对于一个无向图G=(V,E)，其中V表示顶点集合，E表示边的集合，顶点v的度数可记作deg(v)。对于所有的v∈V，有：

deg(v)=|{u|{u,v}∈E}|

其中“| |”表示集合大小的符号。也就是说，deg(v)等于与顶点v相邻的边的集合大小。

二、方法总结

1. 直接暴力法

最简单直接的方法是遍历整个图，对于每个顶点计算它的度数。这个方法的时间复杂度为O(|V||E|)，显然非常低效，不适用于大规模图。

2. 矩阵法

对于一个无向图G=(V,E)，我们可以定义一个矩阵A，其中A(i,j)表示从顶点i到顶点j的边的权重。对于无向图来说，A(i,j)=A(j,i)，矩阵A称为邻接矩阵。使用邻接矩阵可以方便地计算每个顶点的度数。

对于矩阵A，每一行的和就是对应顶点的度数。也就是说，deg(v)=∑Ai,v。

计算度数的时间复杂度是O(|V||V|)，因此适用于小规模图。

3. 列表法

另一种常用的方法是邻接列表法。对于每个顶点v，维护一个与之关联的边的列表L(v)。可以考虑两种方式来实现邻接列表：

- v到其他顶点的出边的列表；

- v到其他顶点的入边的列表。

对于第一种实现方式，顶点v的度数等于L(v)的大小。对于第二种实现方式，顶点v的度数等于所有与v关联的起点的数目。

这个方法的时间复杂度是O(|V|+|E|)，比较适合大规模图。

三、案例分析

假设有如下图形：

2

/ \

1 3

\ /

4

这是一个有4个顶点和4条边的无向图。对于每个顶点的度数，可以使用邻接列表法进行计算。

- 对于顶点1，其关联的边列表为{2}，度数为1；

- 对于顶点2，其关联的边列表为{1,3}，度数为2；

- 对于顶点3，其关联的边列表为{2,4}，度数为2；

- 对于顶点4，其关联的边列表为{1,3}，度数为2。

因此，这个无向图中4个顶点的度数分别是1、2、2、2。

四、总结

无向图的顶点的度数是指和该顶点连接的边的数目，这是一个基础概念。计算顶点的度数的方法有多种，包括直接暴力法、矩阵法和邻接列表法等。不同方法的时间复杂度不同，适合不同规模的图。使用邻接列表法可以方便地计算每个顶点的度数。