邻接矩阵的定义

邻接矩阵是图论中用于表示图的一种方式。邻接矩阵将图中的所有顶点用行和列的形式展示，同时用“1”和“0”来表示它们之间是否相邻。具体来说，对于无向图中第 i 个顶点和第 j 个顶点，若它们相邻，则在邻接矩阵中 A[i][j] 和 A[j][i] 均为 1；若它们不相邻，则 A[i][j] 和 A[j][i] 均为 0。对于有向图，只需要将邻接矩阵中的 1 表示成箭头的方向即可。

邻接矩阵的优缺点

邻接矩阵是表示图的一种便捷的方式，它具有一些优点和缺点。

优点：

1. 直观易懂：邻接矩阵可以很直观地展示图中各个顶点之间的关系，便于理解。

2. 方便寻找：当需要查找某个顶点的邻居时，只需在邻接矩阵中搜索即可。

3. 空间效率高：如果图中顶点的数量与边的数量接近甚至相等，那么使用邻接矩阵来表示图非常省空间。

缺点：

1. 速度低下：在邻接矩阵中检索一个点所连接的所有边需要遍历整个矩阵中的一行，这是一项时间复杂度为 O(n) 的操作。

2. 不适合稀疏图：对于稀疏图来说，邻接矩阵中大部分元素必然为 0，导致空间浪费严重。

3. 新增和删除顶点麻烦：当需要新增或删除图中的一个顶点时，必须重新调整邻接矩阵的大小，这是一项开销较大的操作。

邻接矩阵的应用

邻接矩阵广泛应用于各种图算法和图应用中，下面列举一些常见应用。

1. 最短路径：邻接矩阵可以快速计算任意两个顶点之间的最短路径，时间复杂度为 O(n^3)。

2. 最小生成树：Prim 和 Kruskal 算法均可以通过邻接矩阵来计算无向图的最小生成树。

3. 图搜索：深度优先搜索和广度优先搜索可以使用邻接矩阵来遍历整个图。

4. 图形可视化：邻接矩阵可以方便地转化为图形来呈现图的底层结构，帮助人们更好地理解和分析图。