连通图的生成树

连通图是图论中非常重要的基本概念之一，它指的是一个无向图中，所有点都可以通过路径相互到达。在实际应用中，经常需要从连通图中找出一棵包含所有节点的树，这个树被称为生成树。生成树可以帮助我们解决许多实际问题，例如网络通讯路由、电路连接等。

生成树的定义

生成树是一个连通图的一棵树，它包含了该图的所有节点，并且只包含了这些节点间的部分边。换句话说，生成树是一棵树，它连接了整个连通图中的所有节点。

不同的生成树

对于一个连通图来说，它可能有多个生成树，因为我们可以在图中删去不同的边，从而得到不同的树。例如，在一个简单的四个节点的连通图中，可能有以下不同的生成树：


最小生成树

一个连通带边权的图，可能会有多种生成树，而这些生成树的构造都对应着这张图的不同生成树森林。其中，最小生成树指的是权值最小的生成树。在图像处理、网络设计等领域，需要找出最小生成树来实现大规模的通信或信息传输。最小生成树可以用 Prim 算法或 Kruskal 算法来得到。

Prim 算法

Prim 算法属于贪心算法的范畴，它从一个确定的起点出发不断地扩张到新的节点，并且永远只选择与当前生成树连接权值最小的边。具体实现可以通过优先队列或者堆来进行优化，时间复杂度为 O(NlogN)。

Kruskal 算法

Kruskal 算法属于贪心算法的另一种实现方式，它从边集合中选择权值最小的边，并且不断地扩张成为多个连通块。随着每次选择边的加入，两个不同的连通块逐渐融合为一个总体连通块。具体实现可以通过并查集来实现，时间复杂度为 O(MlogN)。

连通图的求解示例

现在我们来看一个实际问题，并用 Prim 算法和 Kruskal 算法来解决这个问题。

问题描述：有一个内网，在其中有 V 个计算机需要互相通信，并且数据必须通过一些“桥梁”进行传输。每个桥梁连接两台计算机，并且有一个传输速度，不同桥梁的速度可能不同。请找出这个内网中传输速度最快的方案。

我们先定义一个连通图，其中每个节点表示一台计算机，每个节点之间的边表示桥梁。这些边的权值表示传输速度。这样定义后，我们就将原问题转化为了在连通图上求解最小生成树的问题。

假设我们有以下连通图：


现在我们使用 Prim 算法求解最小生成树。

首先，我们先任选一个起点。假设我们选择节点 A 作为起点，然后建立一个空的生成树 T。


然后，对于与 T 相连的节点，按照边权的大小排序，选择权值最小的边加入到 T 中。

例如，我们从 T 中选择了边 (A, B)。然后，我们继续扩展 T，选择 (B, C) 和 (B, D) 这两条边。


然后，我们继续扩展 T，选择了 (D, E) 和 (E, F)。此时，T 已经是原图的一棵生成树。


如果我们选择 Kruskal 算法来求解最小生成树，过程会有所不同。我们先将所有边按照权值排序，然后，按照顺序依次遍历每一条边，如果这条边的两个节点不在同一个连通块中，那么这条边就可以加入到生成树中。

例如，我们从最小权值边 (A, B) 开始，将它加入到生成树中。此时，整个连通图分为了两个部分，一个是 {A, B}，另一个是 {C, D, E, F}。


然后，我们选择下一条最小权值边 (B, C)，将它加入到生成树中，此时整个连通图分为了两个部分 {A, B, C} 和 {D, E, F}。这样，我们继续添加边，直到得到整个连通图的生成树。

最终，使用 Prim 算法和 Kruskal 算法得到的最小生成树都是一样的。