数学建模大赛例题和答案

数学建模大赛是评价学生综合素质能力的重要考核方式之一，其所需要的综合运用数学知识和技能来解决实际问题，对学生的创新能力、模拟能力、综合运用能力等多方面能力有着较高的要求。本文将以一个数学建模大赛例题为基础，从多个角度进行分析，并提供答案。

一、问题描述

假设有一辆总长为L的汽车，其车头尺寸为a，车身尺寸为b，车尾尺寸为c。现在要在一个长为L’的直路上面建立一条长度为L1的长隧道，宽为w。如图1所示。请问该汽车能否通过该隧道？如果能，车头与车尾与隧道之间最小的安全距离d是多少？


二、问题分析

该问题其实是一个基于数学建模知识解决的实际问题。从问题中给出的条件，可以把问题分成若干个子问题，逐一解决。首先，整个问题涉及到汽车和隧道两个对象，需要对它们的形式和大小进行建模，计算它们之间的距离。其次，需要确定该汽车能否通过该隧道，需要进行简单的判断。如果隧道宽度太窄，导致汽车无法通过，最小安全距离也无法计算。最后，需要计算最小安全距离d。由此可见，该问题需要基于多方面知识和技能进行综合评估。

三、问题解答

1. 对象建模

基于该模型题目需要分成汽车和隧道两个对象进行建模。

汽车由三部分组成，车头长度为a，车身长度为b，车尾长度为c，因此该汽车总长度为L=a+b+c。

隧道长为L1，宽度为w，高度未知。假设该隧道的高度为h。则汽车能否通过该隧道的这个问题就转化为汽车是否可以顺利通过这样的豁口问题。

2. 判断汽车能否通过

当汽车能够穿过豁口时，最宽的部分（一般是车轮与地面的接触处）的外形必然是正方形。即：L1≥ √(a^2+(h+w)^2)+√(c^2+(h+w)^2))。

当L1<√(a^2+(h+w)^2)+√(c^2+(h+w)^2))时，汽车无法通过。因此，需要先判断出h（隧道高度）的范围满足这个条件。

3. 计算最小安全距离

当汽车可以通过豁口时，需要基于该模型进行计算。最小安全距离是指车头和车尾与豁口之间的距离。其计算方法如下：

最小安全距离d= w^2/(8h )+0.5(a+c)- 0.25(w(√(2w/h)) -(a-c)^2/(4√(w^2+h^2)))

其中，w是隧道的宽度，h是隧道的高度，a和c分别是汽车的车头长度和车尾长度。