第三范式一定是第二范式的证明

在关系型数据库的范式理论中，第二范式和第三范式是两个非常重要的概念。第二范式要求关系中的每个属性都必须完全依赖于该关系的候选键，而不是部分依赖。第三范式则要求关系中的每个非主属性都必须直接依赖于主键，而不是依赖于其他非主属性。

在实际应用中，有时候第三范式和第二范式之间可能存在矛盾。例如，在一个订单表中，每个订单包含订单号、客户名称、客户地址、产品编号、产品名称和产品单价等信息。如果按照第二范式的要求，我们需要将客户名称和客户地址这两个属性提取出来，单独建立一个客户表。但是这样做会导致订单表中的产品名称属性依赖于客户表中的客户名称属性，违反了第三范式的要求。

然而，在这种情况下，我们可以采用一些其他的技巧来解决这个问题。例如，我们可以建立一个包含客户名称、客户地址和产品名称的视图，并将该视图作为查询表格。这样就能保证同时满足第二范式和第三范式的要求了。

从这个例子可以看出，第三范式一定是第二范式的子集。也就是说，如果一个关系符合第三范式的要求，那么它一定也符合第二范式的要求。这是因为第三范式要求每个非主属性都必须直接依赖于主键，而主键的定义就是能够唯一标识一个关系中的每个元组，因此每个非主属性都必须直接依赖于该关系的所有候选键，反过来也就满足了第二范式的要求。

除此之外，也可以从数学上证明第三范式一定是第二范式的子集。在关系数据库中，我们通常使用函数依赖来描述属性之间的关系。如果X和Y是关系R中的属性集合，且X→Y成立，那么我们就称X是Y的函数依赖的决定因素（也称为函数依赖的左部或者函数依赖的前缀），Y是X的函数依赖的结果（也称为函数依赖的右部或者函数依赖的后缀）。那么一个关系符合第二范式的要求，当且仅当该关系中的属性集合中不存在任何一个属性，其函数依赖的决定因素仅是该关系中的非主属性集合的子集。

根据上述定义，可以得出结论：如果关系R符合第三范式的要求，那么该关系中每个非主属性都必须直接依赖于主键，也就是说，每个非主属性的函数依赖的决定因素都是主键。而根据第二范式的要求，任何一个属性的函数依赖的决定因素都必须是该关系中的一个候选键，因此，符合第三范式的关系也一定符合第二范式。

综上所述，无论从实际应用还是从数学理论上来看，第三范式一定是第二范式的子集。这意味着，如果我们要设计关系数据库，首先应该遵循第二范式的要求，然后再考虑是否需要将某些属性进一步拆分，满足第三范式的要求。