回溯算法子集树和排列树

回溯算法是一种经典的求解优化问题的算法，很多人都会听过它。它的核心思想是将问题的解空间组成一棵树，然后通过深度优先搜索来遍历这个树，从而找到问题的最优解。在这个搜索过程中一旦发现了不可能达到最优解的路径，就剪枝掉以节省时间。而子集树和排列树就是回溯算法中常用的两种树形结构，我们以下将分别从不同角度来分析它们的特点及应用。

一、子集树

子集树是回溯算法中常用的一种树形结构，它展示了一个集合的幂集，即集合的所有子集。子集树的根节点是空集合，每个节点代表着原集合的一个子集，左子树代表不包含当前元素的子集，右子树代表包含当前元素的子集。当左右子树都为空时，该节点代表的就是原集合的一个子集。子集树的深度为原集合的大小，因为每增加一个元素就会向下增加一层。

子集树的应用非常广泛，比如求解集合的子集、这个集合能否被分成两个元素和相等的子集、解决装载问题等。其中装载问题是指把一些物品装进一个容器中，要求物品总体积不超过容器的容积，求最小的容器体积。使用子集树可以很方便地解决这个问题，我们只需要按照深度优先搜索的方式遍历子集树，在遍历过程中记录已经选取的物品体积和当前的最大物品体积，一旦发现某个节点不满足放下当前物品的条件，就进行剪枝。这个算法时间复杂度是O(2^n)，不过可以通过一些优化技巧达到更好的效果。

二、排列树

排列树是回溯算法中的另一种树形结构，它描述了一个序列的全排列。排列树的根节点是一个空序列，每个节点代表序列中下一个要加入的元素，每一个孩子节点对应一个可选元素，即该元素没有被放在序列中。当序列中所有的元素都被选取后，就得到了一个排列，且该排列是由根节点到该叶子节点的路径上所选取的元素组成的。

排列树的应用也很广泛，比如求解旅行商问题、解决数组全排列等。其中旅行商问题是指有n个城市，求解一条路径，从某个城市出发，经过所有城市后回到出发地，使得路径总长度最小。对于这个问题，我们可以使用排列树来求解，每个节点代表的就是当前已经选择的路径中的下一个城市，按照深度优先搜索的方式遍历排列树，并记录已经选择的路径长度和当前的最小路径长度，每次遍历时我们只需要选择当前可选路径中距离最短的路径，如果发现当前的路径长度已经大于等于当前最小路径长度，则进行剪枝。

三、结合应用

除了对子集树和排列树各自的应用之外，它们还可以进行结合应用。以装载问题为例，我们可以先对物品做全排列，得到若干个可行解，然后再对每一个可行解进行子集树的搜索，得到每个可行解的最优解，并对所有可行解的最优解取最小值，即可得到最终解。

同时，这两种树形结构在实现时还可以进行一些优化。比如，为了减小搜索树的规模，我们可以先对集合元素排序，这样能够更早地发现不可行的解，从而提高搜索效率。此外，对于某些特殊的问题，我们还可以使用剪枝等优化技巧，比如可以对某个节点进行强剪枝或者启发式搜索。