关系代数并运算举例

关系代数是关系数据库的理论基础，是一种基于集合论的关系操作语言。在关系代数中，并运算是一种常见的操作，它用于合并两个关系，得到一个新的关系，其中包含两个原始关系的所有行。

在本文中，我们将从多个角度分析关系代数并运算，展示其重要性和使用方法。

一、并运算的定义和使用

并运算是指将两个关系组合到一个新关系中，包括原始关系中所有行。换句话说，对于两个关系R和S，R和S的并集是一个新的关系，其中包含所有R和S两个关系的行，不含重复行。

并运算可以用符号“∪”表示。即 R ∪ S。

现在，我们来看一个实际的例子。假设我们有两个学生表格，如下所示：

Table1: 学生表1

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

| 3 | 王五 | 18 | 女 |

| 4 | 小明 | 20 | 男 |

Table2: 学生表2

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 5 | 邓敏 | 19 | 女 |

| 6 | 小志 | 20 | 男 |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 7 | 大佬 | 22 | 男 |

现在我们想将这两个表格合并，得到一个包含所有学生的表格。我们可以使用关系代数并运算，如下所示：

Table1 ∪ Table2

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

| 3 | 王五 | 18 | 女 |

| 4 | 小明 | 20 | 男 |

| 5 | 邓敏 | 19 | 女 |

| 6 | 小志 | 20 | 男 |

| 7 | 大佬 | 22 | 男 |

如上所示，我们使用并运算将两个表格合并成为一个新的表格，其中包含两个原始表格中的所有行，不包含重复行。

二、并运算的性质

并运算具有多个有用的性质，包括结合律、交换律、分配率、幂等律和零化律。我们来逐个进行分析：

1.结合律

对于三个关系R、S和T，(R ∪ S) ∪ T = R ∪ (S ∪ T)。

这表示，无论我们是先合并R和S，然后再将结果与T合并，还是先合并S和T，然后再将结果与R合并，最后的结果都将是相同的。这个性质非常重要，因为它使我们能够重新排列关系并运算的顺序，以提高查询的效率。

例如，我们假设有三个表格：

Table1: 学生表1

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

| 3 | 王五 | 18 | 女 |

Table2: 学生表2

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 4 | 小明 | 20 | 男 |

| 5 | 邓敏 | 19 | 女 |

Table3: 学生表3

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 6 | 小志 | 20 | 男 |

| 7 | 大佬 | 22 | 男 |

现在假设我们想从这三个表格中找出所有名字为“张三”的学生，以下是实现这个任务的关系代数表达式：

((Table1 ∪ Table2) ∪ Table3) σ 姓名 = '张三'

然而，我们可以通过使用结合律来重新排列关系代数表达式，将其转换为以下形式：

(Table1 ∪ (Table2 ∪ Table3)) σ 姓名 = '张三'

这个新的表达式与原始表达式等价，但从计算效率的角度来看，更有效率。

2.交换律

对于任意两个关系R和S，R ∪ S = S ∪ R。

这表示，将两个关系组合的顺序不影响最终结果。例如，假设我们有以下两个表格：

Table1: 学生表1

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

| 3 | 王五 | 18 | 女 |

Table2: 学生表2

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 4 | 小明 | 20 | 男 |

| 5 | 邓敏 | 19 | 女 |

这时，我们可以对它们执行以下两个操作：

Table1 ∪ Table2

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

| 3 | 王五 | 18 | 女 |

| 4 | 小明 | 20 | 男 |

| 5 | 邓敏 | 19 | 女 |

Table2 ∪ Table1

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

| 3 | 王五 | 18 | 女 |

| 4 | 小明 | 20 | 男 |

| 5 | 邓敏 | 19 | 女 |

这两个结果是相同的，因为并运算具有交换律。

3.分配率

对于三个关系R、S和T，R ∪ (S ∩ T) = (R ∪ S) ∩ (R ∪ T)。

这表示，在执行并运算和交集运算之间存在分配率，我们可以将交集运算移动到并运算之前或之后进行处理。

例如，假设我们有以下三个表格：

Table1: 学生表1

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

| 3 | 王五 | 18 | 女 |

Table2: 学生表2

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

| 4 | 小明 | 20 | 男 |

| 5 | 邓敏 | 19 | 女 |

Table3: 学生表3

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 6 | 小志 | 20 | 男 |

| 7 | 大佬 | 22 | 男 |

现在，我们想找到所有在Table2和Table3中的男性学生，以下是关系代数表达式：

(Table2 ∩ Table3) σ 性别 = '男'

但是，我们可以使用分配率来重写它：

((Table2 σ 性别 = '男') ∩ (Table3 σ 性别 = '男'))

这使我们能够更有效地执行查询。

4.幂等律

对于任意关系R，R ∪ R = R。

这意味着，将一个关系与自己组合不会改变该关系的内容。例如，假设我们有以下一个表：

Table1: 学生表1

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

那么，以下是关系代数表达式：

Table1 ∪ Table1

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

这与原来的表是完全一样的。

5.零化律

对于任意关系R， R ∪ Ø = R。

这表示，将任何关系与一个空集组合不会改变该关系的内容。例如，假设我们有以下一个表：

Table1: 学生表1

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

那么，以下是关系代数表达式：

Table1 ∪ Ø

| 学号 | 姓名 | 年龄 | 性别 |

| --- | --- | --- | --- |

| 1 | 张三 | 18 | 男 |

| 2 | 李四 | 19 | 男 |

这个结果与我们的原始表格是相同的。

三、结论

关系代数并运算作为关系数据库的一种基础操作，具有多个有用的特性，如结合律、交换律、分配率、幂等律和零化律。这使得它可以用于组合多个表，并从这些表中提取所需的行。此外，使用这些表达式可以优化查询的性能并提高数据库的效率。总之，关系代数并运算是关系数据库编程中不可或缺的一环。