动态规划法求最短路径代码

动态规划法是求解最短路径问题的重要方法之一。最短路径问题是指在图中从起点到终点的路径上所有边权的和最小。动态规划法的基本思路是，对于每个子问题，都保存最优解，并利用已求解的子问题的最优解来求解更复杂的子问题。本文将从以下几个角度分析动态规划法求解最短路径的代码实现。

1. 状态定义

动态规划法的核心是状态定义。对于求最短路径问题，状态定义通常是指从起点到某个顶点的最短路径。我们可以用一个一维数组d来表示各个顶点的最短路径长度，其中d[i]表示从起点到i顶点的最短路径长度。因此，状态定义为d[i]表示从起点到i顶点的最短路径长度。

2. 状态转移方程

状态转移方程是动态规划的另一核心部分。对于最短路径问题，我们可以采用松弛操作来实现状态转移。具体来说，对于一条边(u,v)，如果d[u]+w(u,v)

if(d[u]+w(u,v)

{

d[v]=d[u]+w(u,v);

}

遍历所有的边，运行该代码，就可以得到所有顶点的最短路径长度。

3. 初始化

动态规划法需要对状态进行初始化，以确保算法能够正确运行。对于最短路径问题，我们只需要将起点的最短路径长度设为0，其他顶点的最短路径长度设为无穷大。具体来说，可以用下面的代码实现。

for(int i=0;i

{

if(i==s)

{

d[i]=0;

}

else

{

d[i]=INF;

}

}

其中s表示起点，n表示顶点的个数，INF表示一个很大的数。

4. 时间复杂度

动态规划法求解最短路径问题的时间复杂度取决于图的结构。如果图是稀疏图，即边数相对于顶点数比较少，那么时间复杂度为O(ElogV)，其中E表示边数，V表示顶点数。如果图是稠密图，即边数相对于顶点数非常多，那么时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点数。

5. 空间复杂度

动态规划法求解最短路径问题的空间复杂度为O(V)，其中V表示顶点数。因为我们只需要一个一维数组来记录各个顶点的最短路径长度。

6. 代码实现

下面是动态规划法求最短路径问题的完整代码实现。

const int MAXN=1000;

const int INF=0x3f3f3f3f;//表示一个很大的数

int d[MAXN];//记录各个顶点的最短路径长度

int n,m,s;//n表示顶点的个数，m表示边的个数，s表示起点

struct Edge

{

int u,v,w;//u和v表示一条边的两个顶点，w表示该边的边权

}e[MAXN];//存储所有边

void bellman_ford()

{

for(int i=0;i

{

for(int j=0;j

{

int u=e[j].u,v=e[j].v,w=e[j].w;

if(d[u]+w

{

d[v]=d[u]+w;

}

}

}

}

int main()

{

scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);

for(int i=0;i

{

int u,v,w;

scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

e[i]=(Edge){u,v,w};

}

memset(d,INF,sizeof(d));//将所有顶点的最短路径长度初始化为无穷大

d[s]=0;//将起点的最短路径长度初始化为0

bellman_ford();//运行Bellman-Ford算法

for(int i=0;i

{

printf("%d ",d[i]);

}

return 0;

}

其中bellman_ford函数实现了Bellman-Ford算法，即动态规划法求最短路径的具体过程。在主函数中，我们先读入顶点的个数、边的个数和起点，然后读入每条边的信息，将所有顶点的最短路径长度初始化为无穷大，在运行Bellman-Ford算法后输出各个顶点的最短路径长度。