两种遍历顺序唯一确定一颗二叉树

二叉树是一种常见的数据结构，它有着许多的应用场景。在二叉树的遍历过程中，有着多种遍历方式，其中前序遍历、中序遍历和后序遍历是比较常用的遍历方式。在学习二叉树的过程中，我们会发现一种有趣的性质：两种遍历顺序可以唯一确定一颗二叉树。本文将从多个角度去分析这个性质以及相关的一些知识点。

一、前序遍历和中序遍历唯一确定一颗二叉树

在前序遍历中，我们是按照“根结点-左子树-右子树”的顺序进行遍历的，而在中序遍历中，我们是按照“左子树-根结点-右子树”的顺序进行遍历的。我们可以通过已知的前序遍历和中序遍历的结果，来重构一颗二叉树。

对于一颗二叉树而言，它的根结点一定是前序遍历的第一个节点，在中序遍历中，根结点将整棵树分成了左子树和右子树，左子树中所有节点的值都小于根结点中的值，右子树中所有节点的值都大于根结点中的值。将前序遍历和中序遍历的结果分别看做两个数组，那么前序遍历的第一个节点即为根节点，然后在中序遍历结果中找到根节点的位置，可以将中序遍历结果递归地分成左子树和右子树。根据左右子树的长度，我们可以在前序遍历结果中确定左子树和右子树的起止位置，然后递归地构造左右子树即可。

二、后序遍历和中序遍历唯一确定一颗二叉树

在后序遍历中，我们是按照“左子树-右子树-根结点”的顺序进行遍历的。与前序遍历和中序遍历的不同之处在于，后序遍历的最后一个节点一定是二叉树的根结点。所以，我们仍然可以通过已知的后序遍历和中序遍历的结果，来重构一颗二叉树。

与前序遍历和中序遍历唯一确定一颗二叉树的求解方法类似，我们依旧将后序遍历和中序遍历的结果看做两个数组，最后一个节点即为根节点。然后我们在中序遍历结果中找到根节点的位置，将中序遍历结果分成左子树和右子树。之后依旧可以计算左右子树的长度，然后递归的构造左右子树即可。

三、该性质的证明

为了证明这个性质，我们需要通过归纳法来进行证明。对于一颗只有一个节点的二叉树而言，它的两种遍历方式必然相同，且唯一确定。对于一颗有n个节点的二叉树而言，假设它的前序遍历和中序遍历唯一确定，那么它的左右子树也是唯一确定的。因此，如果我们已知一颗二叉树的前序遍历和中序遍历的结果，那么我们可以唯一确定它的左右子树，从而递归构造出整个二叉树。同样的，我们可以通过归纳法的方式，证明一颗二叉树的后序遍历和中序遍历也唯一确定。

四、总结

本文从前序遍历和中序遍历、后序遍历和中序遍历这两个角度，分析了两种遍历顺序唯一确定一颗二叉树这个性质，以及它的应用。通过这个性质，我们可以在已知一颗二叉树的前序遍历和中序遍历、后序遍历和中序遍历的结果的情况下，唯一确定这棵二叉树。