拓扑学基本概念是什么

拓扑学是一种数学分支，研究空间形状和结构不变量的性质。它是一种抽象的几何学，不考虑距离、数量和角度等数值因素，而是关注空间的连通性、同伦等抽象性质。那么，拓扑学的基本概念是什么呢？

拓扑空间

拓扑空间是拓扑学中最基本的概念之一。它是由一个集合和一个在这个集合中定义的拓扑结构组成的。拓扑结构指定哪些子集是打开的（开集）和闭合的（闭集）。这些开集和闭集之间有很多重要的关系和性质，如空间的连通性、紧致性等。拓扑空间上的函数也很重要，比如连续函数、同伦等。

同伦和同调

同伦和同调是拓扑学中的两个重要概念。同伦是指一个拓扑空间中两个连续映射可以通过伸缩等连续变化转化成另一个映射。这个概念可以用来研究空间的连通性和形状等性质。同调是指一个拓扑空间中的向量场、张量场或复流形等数学结构通过微分算子构成的链复形和同调复形之间的同构关系。同调可以用来衡量拓扑空间的“洞”。

拓扑同构和同胚

拓扑同构和同胚是两个基本概念。拓扑同构是指两个拓扑空间之间存在一个连续双射，且这个映射和它的逆映射都是连续的。这种情况下，两个空间的拓扑性质相同。同胚是指两个拓扑空间之间存在一个连续双射，且这个映射是开映射和闭映射（即一个开集和闭集的原像都是开集和闭集）。同胚的情况下，两个空间的拓扑结构完全相同。