散点图线性关系公式

散点图常被用来分析两个变量之间的关系。在实际应用中，我们希望能够建立数学模型来预测变量之间的关系，特别是线性关系。本文将从散点图的基本概念，散点图的绘制方法，散点图的线性关系检验方法以及线性关系公式的建立方法等方面进行探讨。

一、散点图的基本概念

散点图是用直角坐标系在平面上画出变量间的各个数据点，并将它们用点连接起来所组成的图形。横坐标代表一个变量，纵坐标代表另一个变量，每个点的位置代表这两个变量对应数据的组合。与折线图、柱状图、饼图等常见的图表不同，散点图展示的是变量之间的关系，不带有时间或空间的背景信息。散点图适用于数据量较小、没有明显趋势或周期性变化的情况。

二、散点图的绘制方法

制作散点图的第一步是确定要分析的两个变量，如IQ和GPA。其次是绘制坐标轴，规定好坐标轴的范围和刻度。然后，将每组变量对应的数据点在坐标系上绘制出来，并用点将它们连接起来。最后，根据数据点的分布情况，可以初步判断两个变量之间的相关性。

三、散点图的线性关系检验方法

散点图线性关系检验方法是指用统计学方法判断散点图上的点是否呈现趋势性。线性关系检验分为两个部分：Pearson相关系数的计算和线性回归模型的拟合。

1. Pearson相关系数的计算

Pearson相关系数是一种用来测量两个变量之间线性相关程度的方法，其值范围为-1到+1之间。当Pearson相关系数为+1或-1时，表示两个变量呈现完全正相关或完全负相关。当Pearson相关系数为0时，表示两个变量完全不相关。Pearson相关系数的计算公式如下：

r = （nΣXY - ΣXΣY） / [√(nΣX2 - (ΣX)2)√(nΣY2 - (ΣY)2)]

其中，Σ表示求和运算，n表示样本数量，X和Y分别代表两个变量的观测值。r为Pearson相关系数的值。

2. 线性回归模型的拟合

线性回归是一种通过已知变量X预测未知变量Y的方法，它假设X与Y之间存在于一个线性关系，可以用下列公式来进行拟合：

Y = β0 + β1X

其中， β0是截距， β1是斜率。截距表示当X=0时，Y的值，斜率表示Y相应地改变多少，当X增加1个单位。

四、线性关系公式的建立方法

有了散点图的线性关系检验结果之后，接下来怎样建立线性关系公式呢？线性关系公式的建立需要解决两个问题：确定截距和斜率的值，以及检验模型的可靠性。

1. 确定截距和斜率的值

根据线性回归模型拟合的结果，可以得出 β0 和 β1 的估计值，然后将其代入公式中得到预测的线性关系公式。以SAS软件为例，建立线性关系公式的语法如下：

proc reg data=sashelp.cars;

model horsepower = mpg_city;

run;

这一语法输入后，SAS会输出线性回归模型的拟合结果，其中最重要的是估计的截距和斜率的值。对于此例来说，拟合结果为：

horsepower = -41.95 + 3.07mpg_city

即建立了mpg_city与horsepower之间的线性关系公式。

2. 检验模型的可靠性

要想检验模型的可靠性，可以通过检验拟合系数的显著性、残差的正态性和残差的同方差性等方面进行。此外，还可以利用训练集和测试集的方法来验证模型预测的准确性。