回溯法两种剪枝函数

回溯法是求解一些复杂问题的重要方法之一，该算法基于深度优先的搜索策略，可以有效地解决很多NP难问题。然而，在实际应用中，回溯法的效率不佳，需要通过剪枝等方法来提升求解效率。本文将介绍回溯法中的两种剪枝函数及其应用。

一、基本思路

回溯法通过建立状态树，搜索所有可能的状态，找到符合条件的解。具体思路是从根节点开始，每到一个新的节点，就根据问题的定义选择扩展或回溯。在扩展过程中，需要对当前节点进行处理，如判断该节点是否符合条件，是否需要进一步扩展等。如果符合条件，则标记为结果，并返回。否则，需要向下一层节点扩展。当扩展到叶子节点时，如果还没有找到符合条件的结果，则需要回溯，返回上一层节点，继续遍历。

回溯法需要遍历所有可能的状态，因此时间复杂度较高。为了提高效率，需要进行剪枝操作，减少搜索的路径。

二、剪枝函数

剪枝函数即在搜索状态树的过程中，当判断某节点无需再进行搜索时，直接返回或跳过下一层节点，从而减少搜索时间。常见的剪枝函数有两种：可行性剪枝和最优性剪枝。

1.可行性剪枝

可行性剪枝又称为约束剪枝，即在搜索状态树的过程中，当发现某节点无法作为解的部分或全部时，剪去该节点及其子节点。这样就避免了无效的搜索，提高了求解效率。例如，在求解数独问题的过程中，可以根据数独规则，判断当前节点的符号是否合法。如果不合法，则直接剪枝，不再继续搜索该节点及其子节点。这样就可以避免搜索无效解，提高求解效率。

2.最优性剪枝

最优性剪枝又称为限界剪枝，即在搜索状态树的过程中，当发现某个节点的子节点无法得到更优的解时，剪去该节点及其子节点。这样可以避免搜索不必要的路径，提高求解效率。例如，在旅行商问题中，可以通过估计当前节点到已访问城市的最短距离，并将该距离加上当前节点到还未访问城市的最短距离，得到当前节点到达最终节点的最小距离。如果发现当前节点到达最终节点的最小距离已经大于已经找到的最短距离，那么就可以剪枝了。这样就可以避免搜索不必要的路径，提高求解效率。

三、应用实例

回溯法的应用很广泛，在求解很多难题时都需要用到。下面就以数独问题和旅行商问题为例，介绍如何应用可行性剪枝和最优性剪枝。

1.数独问题

数独问题是一种经典的求解问题，通过回溯法可以很好地求解。在求解过程中，可以通过可行性剪枝来减少无效的搜索。具体可以通过以下几个步骤实现：

（1）根据数独规则，初始化填入数字的位置，并标记已经填入的数字。

（2）从左上角开始，逐个遍历所有的空格。

（3）对于每个空格，遍历1~9的数字，判断该数字是否符合数独规则。

（4）如果符合规则，则填入该数字，并向下一个空格扩展，继续递归求解。

（5）如果不符合规则，则回溯到上一个空格，重试其他数字。

（6）如果遍历完所有数字都无法符合规则，则返回上一个空格，进行回溯。

在上述过程中，如果发现当前填入的数字与已经填入的数字冲突，则直接剪枝，不再继续搜索该节点及其子节点。这样就避免了搜索无效解，提高了求解效率。

2.旅行商问题

旅行商问题是经典的组合优化问题，通过回溯法同样可以很好地求解。在求解过程中，可以通过最优性剪枝来减少不必要的搜索。具体可以通过以下几个步骤实现：

（1）初始化访问城市集合和当前路径的长度。

（2）从起点开始，遍历所有未访问的城市。

（3）对于每个未访问的城市，计算当前路径经过该城市到达终点的距离。

（4）如果得到的距离已经大于已经找到的最短路径，则剪枝。

（5）否则，将该城市标记为已访问，扩展到下一层节点，继续递归求解。

（6）如果遍历完所有未访问的城市都无法找到更优的解，则回溯到上一层节点，继续搜索其他可能的路径。

在上述过程中，如果发现当前节点到达最终节点的最小距离已经大于已经找到的最短距离，那么就可以剪枝了。这样就可以避免搜索不必要的路径，提高求解效率。