折半查找关键字比较次数

折半查找也被称为二分查找，是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。在折半查找中，将被查找的关键字与数组中间位置的元素相比较，根据比较结果决定搜索范围的哪一半继续查找，直到找到关键字或搜索完整个数组为止。本文将从算法原理、时间复杂度、优缺点等方面分析折半查找的关键字比较次数。

算法原理

二分查找的核心思想是通过比较目标值和中间值的大小关系，将查找区间不断缩小为左半边或右半边。具体步骤如下：

1.将要查找的关键字与数组中间位置元素进行比较，如果相等，则查找成功。

2.如果不相等，则比较目标值和中间值的大小关系，如果目标值小于中间值，则在左半边继续查找，否则在右半边继续查找。

3.重复以上步骤，直到查找到关键字或查找区间为空。

时间复杂度

假设有n个元素，折半查找每次将查找区间减半，因此查找次数最多为log2(n)+1次。因此，折半查找的时间复杂度为O(log2n)。具体计算如下：

T(n) = T(n/2) + 1

= T(n/4) + 2

= T(n/8) + 3

...

= T(1) + log2(n)

= log2(n) + 1

优缺点

折半查找的主要优点在于，能够快速地找到有序数组中某一特定元素的位置，查找效率高。另外，折半查找可以处理静态数据集的操作，不需要频繁地插入或删除元素。缺点是折半查找要求查找的数据集必须有序，否则需要先排序，这会增加排序的时间复杂度。此外，折半查找需要额外的空间来存储中间位置的索引值，对于大规模数据集的处理会浪费大量的空间。

比较次数

折半查找的关键字比较次数可以通过公式计算：log2n+1。例如，在一个有8个元素的有序数组中查找某一元素，最多需要进行log28+1=4次比较。由于折半查找的时间复杂度为O(log2n)，因此可以看出折半查找的效率较高。

实例分析

假设有一个有序数组a[]，长度为n，关键字为x，查找关键字x的代码如下：

int binarySearch(int a[], int x, int n)

{

int low = 0, high = n-1, mid;

while(low <= high)

{

mid = (low + high) / 2;

if(a[mid] < x)

low = mid + 1;

else if(a[mid] > x)

high = mid - 1;

else

return mid;

}

return -1;

}

假设数组a[]中的元素为1, 3, 5, 7, 9，要查找元素5，计算关键字比较次数如下：

第1次比较：mid = (0 + 4) / 2 = 2，a[mid] = 5，查找成功，比较次数为1。

如果要查找元素6，计算关键字比较次数如下：

第1次比较：mid = (0 + 4) / 2 = 2，a[mid] = 5，6 > 5，在右半边查找。

第2次比较：mid = (2 + 4) / 2 = 3，a[mid] = 7，6 < 7，在左半边查找。

第3次比较：mid = (2 + 3) / 2 = 2，a[mid] = 5，6 > 5，在右半边查找。

第4次比较：mid = (3 + 3) / 2 = 3，a[mid] = 7，6 < 7，在左半边查找。

第5次比较：mid = (2 + 3) / 2 = 2，a[mid] = 5，6 > 5，在右半边查找。

查找失败，比较次数为5。