背包问题例题及答案

背包问题是计算机科学中常见的一个问题，其主要思想是将一些物品放入背包中，使得背包的总重量最大（或最小），同时需要满足限定的容量和价值要求。本文将通过一些例题和答案，从多个角度分析背包问题，帮助读者更好地理解和掌握这一经典算法。

一、0-1背包问题

0-1背包问题是最基本的背包问题，其特点是每个物品最多只能选择一次。假设有n个物品和一个容量为C的背包，每个物品i有一个重量w[i]和一个价值v[i]，现在需要选择一些物品，使得它们的总重量不超过背包的容量C，同时总价值最大。

解答：此问题可使用动态规划算法求解。设f[i][j]表示在只考虑前i个物品、总重量不超过j的情况下，所取的物品的最大总价值。则有以下转移方程：

1.当不选第i个物品时，则f[i][j]=f[i-1][j]；

2.当选第i个物品时，则f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+v[i]；

最终所求即为f[n][C]。

二、完全背包问题

完全背包问题是指每个物品可以选择无限多次的背包问题，与0-1背包问题不同，此问题中的每个物品可以放入无限次，即不受数量限制。假设有n个物品和一个容量为C的背包，每个物品i有一个重量w[i]和一个价值v[i]，现在需要选择一些物品，使得它们的总重量不超过背包的容量C，同时总价值最大。

解答：与0-1背包问题不同，此问题只需要将0-1背包问题的转移方程稍作修改即可。设f[i][j]表示在只考虑前i个物品、总重量不超过j的情况下，所取的物品的最大总价值。则有以下转移方程：f[i][j]=max{f[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]} (0<=k*w[i]<=j)。最终所求即为f[n][C]。

三、多重背包问题

多重背包问题是指每个物品的数量有限制的背包问题。假设有n个物品和一个容量为C的背包，每个物品i有一个重量w[i]和一个价值v[i]，以及数量c[i]，现在需要选择一些物品，使得它们的总重量不超过背包的容量C，同时总价值最大。

解答：此问题也可以使用动态规划算法求解。与完全背包问题的转移方程类似，设f[i][j]表示在只考虑前i个物品、总重量不超过j的情况下，所取的物品的最大总价值。则有以下转移方程：f[i][j]=max{f[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]} (0<=k<=c[i],k*w[i]<=j)。最终所求即为f[n][C]。