二叉排序树等概率下查找成功的平均查找长度

二叉排序树又称二叉查找树，它是一种基于二分法的数据结构。在一棵二叉排序树中，每个节点都包含一个关键字（键值），并且每个节点的左子树中所有节点的关键字值小于它自身的关键字值，右子树中所有节点的关键字值大于它自身的关键字值。这种结构的特点能够使查找、插入、删除等操作在时间复杂度上有很大提升。其中，查找是最常见的操作之一，在等概率下查找成功的平均查找长度是度量一个二叉排序树的性能的重要指标。

一、平均查找长度的定义

平均查找长度是指在查找一棵树中某个节点所需要遍历的节点数的平均值，记作ASL(Average Search Length)，也称为“平均查找次数”。对于一棵有n个节点的二叉排序树，它的平均查找长度ASL定义为：

ASL = (1/n)*{Σ(i=1->n)(查找成功的深度 + 1)}

其中，(查找成功的深度 + 1) 表示在查找成功时，需要查找的节点的深度加上查找到的节点的深度，1/n 表示所有节点的查找概率都相等。

二、二叉排序树等概率下查找成功的平均查找长度

在等概率的情况下，一棵有n个节点的完全二叉树的平均查找长度ASL=Θ(log2n)，也就是说，自然情况下，给定一个有n个关键字的有序数据集合，构建一个含n个节点的二叉排序树的查找效率就与构建完全二叉树的效率相仿。但是，在实际情况下，二叉排序树因为可能不平衡，存在查找次数差异很大的情况。

三、平衡二叉树

引入平衡二叉树的概念可以有效解决二叉排序树不平衡的问题。平衡二叉树又称 AVL 树，本质上是一棵二叉查找树，在满足某种特定平衡条件的要求下，尽可能地让二叉树左右子树高度差不超过1，这样就提高了查找的效率。AVL树常用的平衡操作包括 左旋(LL)、右旋(RR)、左右旋(LR)和右左旋(RL)。在 AVL 树中，任何节点的左右子树的高度差都不会超过1，因此树的高度最多只是log2(n)。

四、B树

B树又称平衡多路查找树，是一种妥协方案，它是一种平衡且多路的查找树。B树和平衡二叉树的区别在于，B树每个节点可以存储多个关键字和对应的指针，这就意味着 B 树中每个节点的度数可以多于2，相比而言，它更适合存储大量的数据。B树的常用操作包括 查找、插入、删除、遍历 等，它在硬盘等外存储器中被广泛使用。

五、总结

二叉排序树是一种优秀的数据结构，可以高效地执行各种操作。但是，如果它不平衡，则会导致查找效率很低。为了提高查找效率，出现了平衡二叉树和B树。平衡二叉树通过 加入旋转操作 实现节点之间的平衡；而 B 树则通过增加节点的度数 实现节点之间的平衡。