何为拓扑

拓扑（Topology），是数学中研究“空间形状”和“空间变换”的学科。与其他分支的数学不同的是，拓扑学不关心形状的具体度量，而是关心形状保持的变形或者用某种方法变形。因此，拓扑学中的形状保持对于平移，旋转，倾斜等变换都具有不变性，这种不变性是无量度的，因此拓扑学具有很强的抽象和一般化特征。

拓扑概念最重要的是拓扑空间和拓扑映射，定义为：

拓扑空间是指一个集合与集合的邻近关系的结构，这种结构满足某些基本性质，包括空间内的点和连通性。

拓扑映射是指将一个拓扑空间映射成另一个拓扑空间，而保持空间内的邻近关系不变的变换。

与此相关的有拓扑基，开集，闭集等概念。拓扑学中的最基本从写是集合的概念，而不是空间的概念，这种让拓扑学成为更加一般化，无需依赖于特定空间的学科。

除了基础概念和定义，拓扑学还包含很多应用领域，如曲面理论、流形、材料科学、生物、经济社会学等等。下面将从不同角度介绍拓扑学的应用。

一、曲面理论

曲面理论是拓扑学在几何上的应用，它描述的是被弯曲和捏合的曲面，有很多应用领域，如建筑设计，地质学，地形图制作，物理学等等。曲面理论和拓扑学密不可分，建立了很多基础理论，并有很强的实用性。

二、流形

流形是拓扑学的一个重要概念，描述的是空间上的“局部”和“全局”的特征。流形可以是规则的空间形状，比如，圆，球等等，也可以是不规则的空间形状。流形在数学物理等学科中都有广泛的应用，成为这些学科中的理论基础。

三、材料科学

材料科学中使用拓扑概念的一个重要应用是拓扑绝缘体的研究。拓扑绝缘体是在固体中的一种特殊状态，处在这种状态的材料在表面和体内都有完全不同的电子结构，具有特殊的导电性质。这种材料在未来的电子技术中具有重要的应用潜力。

四、生物

拓扑学在生物学中的应用也越来越多，如蛋白质结构研究中有很多拓扑的方法和算法，生物体的某些结构可以用拓扑形状描述，用拓扑的思想解读某些生物现象也越来越普遍。

五、经济社会学

拓扑学不仅可以解决几何问题，也可以解决更广泛的抽象问题，例如社交网络的研究。社交网络中的拓扑联系可以用图形表示。通过拓扑的分析和变换，可以研究人际关系，群组形成等问题，对于经济社会学的研究有很大的促进作用。