最优二叉搜索树算法

二叉搜索树(Binary Search Tree, BST)是一种常用的数据结构，它能够快速地实现查找、插入、删除等操作。当树的平衡度较高时，这些操作的时间复杂度可以达到O(logn)，而在最坏情况下，二叉搜索树可能会退化为链表，导致操作的时间复杂度为O(n)。因此，如何构建一棵平衡的二叉搜索树就成为了一个重要问题。

这里我们来介绍一个经典的算法——最优二叉搜索树算法( Optimal Binary Search Tree, 简称OBST)。该算法的目标是构建一棵包含给定关键字集合的二叉搜索树，并使树的期望搜索代价最小。在接下来的文章中，我们将从多个角度对该算法进行分析。

数据结构

首先，我们来了解最优二叉搜索树算法的数据结构。

为了描述OBST的过程，我们需要定义两个表。一个是概率表(probabilities)，用于存储关键字的出现概率；另一个是期望搜索代价表(expectation), 用于存储每个子树中搜索代价的期望值。

接着，我们需要定义一些变量。设p(i, j)表示在关键字集合k[i, j]内搜索一个关键字所需的期望搜索代价。设e(i, j)表示在子树T[i, j]内搜索任意一个关键字的期望搜索代价。

那么，我们如何求解这些变量呢？接下来，我们将分别从算法思路、实现过程、时间复杂度等角度进行分析。

算法思路

对于一个给定的二叉搜索树，其中任意一个节点的搜索代价取决于它在树中的位置和子树大小。因此，我们可以设T[i, j]为k[i, j]的一颗二叉搜索树，其中i <= j。那么，T[i, j]中的根节点应该是某个k[l, r]，并且这个k[l, r]是最优二叉搜索树中出现在T[i, j]中的最下层的节点。

那么，如何确定这个根节点呢？我们可以枚举T[i, j]中的每一个可能的根节点，然后计算在它作为根节点的情况下，T[i, j]的期望搜索代价。由于T[i, j]还有左子树和右子树，我们需要继续递归求解T[i, l-1]和T[l+1, j]，并将结果累加到T[i, j]的期望搜索代价中。

实现过程

在实现最优二叉搜索树算法时，我们需要依次填充probabilities、expectation和root表格。其中，probabilities[i]表示k[i, i]的出现概率，即p(i, i)，而expectation[i][j]表示T[i, j]的期望搜索代价，root[i][j]则记录T[i, j]的根节点。

最先填充probabilities表。接着，我们需要使用动态规划填充expectation和root表格。具体地，我们可以按照从小到大的子树规模来填充表格。对于大小为s的子树T[i, i+s-1]，我们从i开始枚举根节点，然后按照如下公式计算：

e(i, i+s-1) = min_{i <= k <= i+s-1}{e(i, k-1) + e(k+1, i+s-1) + w(i, i+s-1)}

其中，w(i, i+s-1)表示k[i, i+s-1]的搜索代价之和。

时间复杂度

在填充期望搜索代价表时，我们需要求解O(n^2)个子问题，每个子问题需要O(n)时间来计算，因此动态规划的时间复杂度为O(n^3)。当然，在实际应用中，我们可以使用一些优化手段来提高求解速度，如记忆化搜索(memoryization)、滚动数组技巧等。