完全二叉树的五大性质是什么

二叉树是一种常用的数据结构，而完全二叉树是二叉树中的一种特殊形式，具有诸多特点和优势。在实际应用中，完全二叉树常用于堆的实现、哈夫曼树等算法。本篇文章将从多个角度分析完全二叉树的五大性质，让读者更好地理解它的特点和应用。

性质一：深度为k的完全二叉树，有2^k-1个节点

这个性质比较容易理解，因为从深度开始，每增加一层节点个数翻倍，所以节点数可以表示为2^(k-1)到2^k-1之间的整数。举个例子，深度为3的完全二叉树共有7个节点，深度为4的完全二叉树共有15个节点。

性质二：若完全二叉树的节点按层序编号，则节点i的左子节点编号为2i，右子节点编号为2i+1，它的父节点编号为i/2（i≠1）

这个性质非常重要，因为它可以用来实现完全二叉树的数组存储方式。只需定义一个大小为2^k-1的数组，根节点存储在下标为1的位置，每个节点的左右子节点和父节点的下标都可以通过上述公式来计算。这种存储方式还有一个优势，就是可以利用完全二叉树的性质快速定位节点。

性质三：深度为k的完全二叉树，它的最后一层或者是满二叉树，或者是从左到右填满的

这个性质也比较容易理解，在深度为k的完全二叉树中，最后一层的节点个数是2^(k-1)到2^k-1之间的整数，而对于最后一层节点个数为n（n<2^(k-1)）的情况，它们只可能在最后一层从左到右填满形成。

性质四：完全二叉树的高度为log2(n)，n为节点个数

这个性质也比较容易理解，因为深度为k的完全二叉树的节点个数为2^k-1，那么n=2^k-1，所以k=log2(n+1)。

性质五：对于任意一棵非空完全二叉树，如果它的节点个数为n，那么它的最小堆高度为log2(n)，最大堆高度为log2(n+1)-1。

这个性质涉及到堆的概念，最小堆是指父节点值小于等于子节点值的堆，最大堆是指父节点值大于等于子节点值的堆。在一个非空完全二叉树中，最小堆的高度和最大堆的高度分别为log2(n)和log2(n+1)-1，这也是堆的性质之一。

综上所述，完全二叉树具有五大性质：深度为k的完全二叉树有2^k-1个节点，节点i的左子节点编号为2i，右子节点编号为2i+1，它的父节点编号为i/2（i≠1）；深度为k的完全二叉树的最后一层或者是满二叉树，或者是从左到右填满的；完全二叉树的高度为log2(n)，n为节点个数；对于任意一棵非空完全二叉树，如果它的节点个数为n，那么它的最小堆高度为log2(n)，最大堆高度为log2(n+1)-1。