向量典型例题及解析

一、定义及基本性质

向量是表示大小和方向的有向线段。用一个有向线段来描述物体运动的方向和速度称为向量。

两个向量相等的充分必要条件是它们大小和方向都相同。

向量的加减法满足交换律、结合律和分配律。向量的数量积满足交换律和分配律。

二、向量的坐标表示

在直角坐标系中，向量AB的始点为点A(x1,y1)，终点为点B(x2,y2)。向量AB可以表示成两点坐标的差向量：$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{pmatrix}$。

三、向量的共线、垂直、平行

向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$共线的充分必要条件是$\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$，k为非零实数。

向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$垂直的充分必要条件是$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$。其中，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$，$\theta$为两个向量的夹角。

向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$平行的充分必要条件是$\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$或$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，k为非零实数。

四、向量共面及几何意义

如果有任意两个非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$都在同一个平面内，则称向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$和平面所在的向量共面。$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$所在平面的法线向量为$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$，其中$\times$为向量积符号，其方向为右手定则所规定的方向。另外，向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$共面的充分必要条件是$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=0$。

五、向量的应用

向量在物理学、力学、计算机科学等领域均有广泛的应用。比如，在二维图形变换中，可以通过向量对图形进行平移、旋转、缩放等变换；在三维图形中，则可以进行更加丰富的变换。

六、例题解析

例1：已知$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$，计算$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$和$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$的长度。

解：$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$。

$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\12\end{pmatrix}$，$|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}|=\sqrt{1^2+12^2}=\sqrt{145}$。

例2：已知$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角。

解：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times2+1\times5=7$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$。

$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{7}{\sqrt{2}\sqrt{29}}$，$\theta=\arccos(\frac{7}{\sqrt{2}\sqrt{29}})\approx20.44^\circ$。