动态规划01

动态规划是解决一些具有重叠子问题且具有最优子结构的问题的算法，它将问题分解为子问题并缓存子问题的解以便下次直接调用。其中，01问题是动态规划的经典问题。它的定义是：给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，需要将物品放入容量为W的背包中，使得放入的物品重量不超过背包容量，同时背包中的物品价值最大。

角度一：动态规划01的状态转移方程

动态规划的核心就是状态转移方程，01问题的状态等价于将不同的物品一个个加入到背包中所能得到的最优解。状态转移方程为：

dp[i][j] = MAX(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中dp[i][j]表示在前i个物品中，能够装入容量为j的背包中的最大价值。w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。

可以看出，状态转移方程的基础是利用重叠子问题的性质，通过动态规划的思想将问题分解为更小的子问题，并且将子问题的解缓存在状态矩阵中，方便后续的计算和调用。

角度二：动态规划01的复杂度分析

动态规划算法需要进行两次循环，一次循环用来取得最大值，一次循环用来处理所有的物品。因此，01问题的时间复杂度为O(n*w)，其中n为物品的数量，w为背包的容量。

但是，在实际应用中，时间复杂度可能会有所改变。例如，在一些特殊情况下，可以进行优化，使时间复杂度更低。

角度三：动态规划01的应用

动态规划01问题的应用非常广泛，例如在航空、运输、金融等领域，可以用它来优化货物配送方案、减少物流成本、进行股票交易等。

此外，动态规划01问题还可以应用于机器人路径规划、DNA序列比对、图像识别等领域。