主动风险是主动收益的方差

在投资领域，风险和收益是密不可分的。传统的投资组合理论认为，投资者可以通过分散投资，降低整体风险，但同时也牺牲了一部分的收益。而对于那些寻求更高收益的投资者来说，他们需要承担更高的风险，这个时候就需要关注主动风险和主动收益的方差。

主动风险是指投资组合相对于市场基准的波动风险，而主动收益则是指投资组合相比于市场基准的超额收益。如果一个基金经理表现出了很强的主动管理能力，那么他将会带来较高的主动收益，并且相对而言，也会承担更高的主动风险。

在这篇文章中，我们将会从多个角度分析主动风险和主动收益的方差，并证明主动风险和主动收益之间存在着密不可分的联系。

1. 主动风险和主动收益的关系

最简单的方法是通过公式来证明主动风险和主动收益之间的关系。如果我们假设$R_{p}$为投资组合的总回报率，而$R_{m}$为市场基准的回报率，$\alpha$为投资经理的超额收益，则有：

$R_{p}=R_{m}+\alpha$

从这个公式可以看出，主动收益的大小是由超额收益来衡量的。而方差则表现为分散投资所带来的风险，所以我们可以得出以下公式：

$Var(\alpha)=Var(R_{p}-R_{m})$

因此，我们可以看出主动收益和主动风险是息息相关的，一方面，如果一个基金经理表现出较强的主动管理能力，那么他将有更高的超额收益，但也会承担更高的主动风险；另一方面，如果一个基金经理采用了较为保守的投资策略，以降低主动风险，那么也将会因此失去一部分的主动收益。

2. 主动管理与基准组合

主动风险和主动收益的关系也可以影响基金经理的决策。一般来说，基金经理需要选择一个合适的市场基准进行比较，以衡量自己的投资表现。但是，选用不同的基准会对主动收益和主动风险的评估产生不同的影响。因此，选择适当的基准是非常重要的。

如果基金经理选择了市场上最常见的基准如道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average，DJIA）或标准普尔500指数（S&P500），那么他所管理的基金的主动收益将会受到这些指数的影响，但是基金经理所能承担的主动风险范围也将会更大。在这种情况下，基金经理很难证明自己的能力。

相反，如果基金经理选择的基准与他所管理的投资组合更为匹配，则将更容易体现出其管理能力的优势。例如，一个专注于大宗商品市场的基金经理就可以以相应的大宗商品指数作为基准。

3. 如何衡量主动风险和主动收益

衡量基金经理的主动收益和主动风险一直是投资者所关注的问题。对于评估主动收益，最常用的指标是夏普比率（Sharpe Ratio），它衡量了基金经理每承担一单位的总风险所获得的超额收益。

对于评估主动风险，最常用的指标是信息比率（Information Ratio），它衡量了基金经理每承担一单位的主动风险所获得的超额收益。同时，也可以通过获取主动收益和主动风险之间的关系来评估基金经理的综合表现。

4. 结论

综上所述，主动风险和主动收益之间存在着密不可分的联系，只有通过恰当地控制主动风险，基金经理才能够获得更多的主动收益。对于投资者而言，选择对应的基准和采用正确的评估方法也非常重要。在投资决策中，我们需要综合考虑主动收益和主动风险的大小以及其之间的关系。