折半查找平均查找长度计算查找失败

折半查找是一种常见的查找算法，也称为二分查找。其思路是从查找区间的中间元素开始比较，如果中间元素等于目标值，则查找成功；如果目标值小于中间元素，则在左半区间继续查找；如果目标值大于中间元素，则在右半区间继续查找。如此递归下去，直到查找到目标值或区间为空。折半查找的时间复杂度为O(logn)，而且只适用于有序的列表。

折半查找中有一个重要的参数，就是平均查找长度（ASL），它是指在查找成功和查找失败的情况下，平均需要比较的次数。ASL的计算公式如下：

ASL = (查找成功时比较的次数 + 查找失败时比较的次数) / 所有可能的查找的元素个数

其中，所有可能的查找的元素个数为n+1，因为n为元素个数，还要加上一个查找失败的情况。

对于折半查找来说，查找成功时的比较次数为log2(n+1)，因为每次查找都能排除掉一半的元素，直到找到目标元素。而查找失败的情况下，最坏情况需要比较n/2次，因为每次都能排除掉一个元素，直到只有一个元素剩余。因此，ASL的公式可以简化为：

ASL = (log2(n+1) + n/2) / (n+1)

接下来，我们从多个角度来分析折半查找的ASL，以及如何计算查找失败的情况。

1. 查找成功的情况下，ASL的大小不受n的影响。因为每次都能排除一半的元素，所以平均比较次数是log2(n+1)，与n的大小无关。这也是折半查找的优势之一，即查找速度很快。

2. 查找失败的情况下，ASL的大小与n的大小有关。因为每次只能排除一个元素，所以查找一个元素最多需要比较n/2次。当然，大部分情况下，查找失败的元素并不会在中间位置，所以平均比较次数要少于n/2次。但是，如果元素个数很多，即n很大，那么查找失败的 ASL 会比较高，影响算法的效率。

3. 查找失败的情况下，如何计算ASL？一种常见的方法是将查找失败的情况看作比查找成功的情况多一次比较，即比较次数为log2(n+1)+1。但是，这种方法并不准确，因为未必每次都需要比较n/2次。更准确的方法是，假设查找失败的元素在 [1, i] 或 [i, n] 区间中，那么查找的次数为 i+1 或 n-i+1。因此，平均查找次数为：

ASL = (1/n)[(i+1)+(n-i+1)] = (n+2)/2n

其中，i 的取值范围为 [0, n]。这种方法更加准确，也更容易理解。

4. 折半查找虽然速度很快，但是有一个前提，即列表必须是有序的。如果列表是无序的，那么折半查找就失去了意义。因此，在使用折半查找时，需要先对列表进行排序。如果需要频繁地插入或删除元素，就需要使用其他的数据结构，例如二叉查找树或哈希表。

总之，折半查找是一种高效的查找算法，可以快速地查找有序列表中的元素。它的成功情况下，平均比较次数为log2(n+1)；而失败情况下，平均比较次数与n的大小有关，一般是(n+2)/2n。在使用折半查找时，需要注意列表必须是有序的，并且适用于静态的列表，不适用于频繁插入或删除的动态列表。