树的权值怎么求

在树的数据结构中，每一个节点通常都具有一个权值属性。树的权值是指树中所有节点的权值之和，这一值是很多算法中的一个重要参数，因此在算法的实现过程中非常常见。下面将从多个角度分析如何求树的权值。

深度优先搜索

深度优先搜索（Depth First Search）是一种遍历树的经典算法。在深度优先搜索中，我们先从根节点开始遍历，访问一个节点后再依次访问其子节点，直到某个节点的所有子节点都被访问过。这时我们返回到该节点的父节点，继续访问父节点的未被访问的兄弟节点。如果所有节点都被访问过，则搜索结束。

在深度优先搜索中，我们可以通过每个节点的权值累加来计算整个树的权值。具体地，在遍历过程中，我们可以将当前节点的权值累加到父节点的权值中。这递归的思想保证了我们遍历每一个节点，并且可以累加节点的权值。

广度优先搜索

广度优先搜索（Breadth First Search）是另一种经典的树搜索算法。在广度优先搜索中，我们首先访问当前节点和它的所有子节点，接着继续访问兄弟节点。通过这种方式，我们可以一层一层地访问树的所有节点。

与深度优先搜索不同，广度优先搜索通常需要使用队列（Queue）这一数据结构来保存待访问节点。从队列中取出一个节点后，我们可以考虑累加其权值，并将其子节点加入队列以备后续访问。

动态规划

动态规划（Dynamic Programming）是解决具有重叠子问题和无后效性的问题的经典算法。在树求权值问题中，我们同样可以使用动态规划来解决。我们可以定义状态$dp_i$为以节点$i$为根节点的子树的权值之和，即:

$$

dp_i = w_i + \sum_{j \in son_i}dp_j

$$

其中$w_i$表示节点$i$的权值，$son_i$表示节点$i$的所有子节点。由此，我们可以得到整个树的权值:

$$

W = \sum_{i=1}^ndp_i

$$

这个公式使用起来非常简便，并且可以在时间复杂度为$O(n)$的时间内完成计算。