求二叉树节点总数的算法

二叉树是一种非常重要的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用。对于树状结构，我们通常需要知道它的节点总数。对于二叉树而言，求其节点总数是一个经典的算法问题，本文将从多个角度来分析这个算法。

一、递归实现算法

我们先来看最简单的算法实现：递归。对于一个二叉树，我们可以将其节点总数看作根节点数加上左子树节点总数和右子树节点总数。用递归的方式求解这个问题，可以将其拆分为求解左右子树节点总数的子问题，然后将其相加即可。代码如下：

```

int countNodes(TreeNode* root) {

if (!root) return 0; // 如果是空树，直接返回0

int left = countNodes(root->left);

int right = countNodes(root->right);

return left + right + 1; // 根节点数为1

}

```

这个实现非常简单，时间复杂度为O(n)，其中n为节点总数。但是这个算法有一个很大的问题：它会递归遍历二叉树所有的节点，而且重复访问了一些节点，导致效率不够高。因此我们需要寻找更加高效的算法。

二、迭代实现算法

对于递归算法而言，我们可以非常方便地求出左右子树节点总数，但是在处理根节点时，需要考虑这个节点是否存在，以及访问它的左右子树时，是否访问过。如果能够找到一个高效的方式，一次性处理所有待访问节点的话，就可以获得更好的效率。

我们发现对于一个二叉树而言，其左右节点的编号都是有规律的。假设根节点的编号为1，左子树节点的编号为2i，右子树节点的编号为2i+1。那么节点总数为n的满二叉树，其最大编号为n。这启示我们可以通过二分法来判断某个节点是否存在，从而达到避免重复访问的目的。

具体实现如下：

```

int countNodes(TreeNode* root) {

if (!root) return 0;

int depth = computeDepth(root); // 计算树的深度

if (depth == 0) return 1; // 如果深度为0，只有一个根节点

int left = 1, right = pow(2, depth) - 1; // 左右节点编号的上下界

while (left <= right) {

int mid = (left + right) / 2; // 中间节点编号

if (exists(root, depth, mid)) left = mid + 1;

else right = mid - 1;

}

return pow(2, depth) - 1 + left; // 左右子树节点数之和为left-1

}

bool exists(TreeNode* root, int depth, int k) {

int left = 0, right = pow(2, depth) - 1;

for (int i = 0; i < depth; i++) {

int mid = (left + right) / 2;

if (k <= mid) {

root = root->left;

right = mid;

}

else {

root = root->right;

left = mid + 1;

}

}

return root != nullptr; // 根据最后的节点是否存在判断该编号是否存在

}

int computeDepth(TreeNode* root) {

int depth = 0;

while (root->left) {

depth++;

root = root->left;

}

return depth;

}

```

这个方法的时间复杂度为O(log2(n)^2)，其中n为节点总数。我们需要先求树的深度O(log2(n))，然后需要在每层中二分查找左右节点的编号O(log2(n))。虽然这个算法比递归算法更加复杂，但是它的效率更高，对于数目较大的二叉树来说，明显能够缩短计算时间。

三、位运算实现算法

我们再来看一种非常巧妙的算法：利用位运算实现节点总数计算。对于一个节点而言，我们将其从根节点开始一直到树叶的路径上的所有左右节点编号记录下来，就可以唯一确定这个节点在二叉树中的位置。例如，对于编号为5的节点，其左右节点上下标分别为101（二进制）和110（二进制）。因此，如果知道了节点总数，就可以构建对应个数的二进制字符串，然后根据节点编号对这个二进制盘片进行从左到右的遍历，就可以确定它是否存在。因此这个方法的核心思路就是：将树的节点总数转换成二进制，根据每个节点的二进制位判断其是否存在。

具体实现如下：

```

int countNodes(TreeNode* root) {

if (!root) return 0;

int level = 0;

TreeNode* node = root;

while (node->left) { // 迭代计算树的深度

level++;

node = node->left;

}

int left = pow(2, level), right = pow(2, level + 1) - 1; // 节点编号的上下界

while (left < right) { // 利用二分法查找节点编号

int mid = (right - left + 1) / 2 + left;

if (exists(root, level, mid)) left = mid; // 存在，则下个二分区间在右边

else right = mid - 1; // 不存在，则下个二分区间在左边

}

return left;

}

bool exists(TreeNode* root, int level, int k) {

int bits = 1 << (level - 1);

while (root && bits > 0) {

if (!(bits & k)) root = root->left; // 若首位为0，则向左走

else root = root->right; // 若首位为1，则向右走

bits >>= 1; // 移除首位

}

return root != nullptr; // 根据最后的节点是否存在判断该编号是否存在

}

```

这个算法的时间复杂度为O(log2(n)^2)，其中n为节点总数。这个算法非常巧妙，也非常高效，对于节点数量较大的二叉树而言，可以大大缩短求解时间。

四、总结

对于求解二叉树节点总数的算法，我们首先考虑了递归算法，代码比较简单，但需要遍历整个二叉树，效率不高。接下来，我们考虑了迭代算法，利用二分法来查找节点，可以避免重复遍历。最后，我们还介绍了一种非常巧妙的位运算算法，可以高效地解决这个问题。在实际应用中，我们需要考虑到二叉树节点总数的数量级，选择相应的算法，以实现高效的计算。