研究下列函数的连续性

在高中数学中，我们学习了函数的连续性。函数的连续性是指函数在定义域内某一点的极限等于该点的函数值，因此函数在这一点处连续。本文将研究下列函数的连续性：

$f(x)=\begin{cases}2x&x<0\\x^2&x\geq 0\end{cases}$

1. 点$x=0$处的连续性

要判断$f(x)$在点$x=0$处的连续性，我们需要分别求出$x=0$左右两侧的极限。当$x\rightarrow0^-$时，$f(x)=2x$，所以$\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f(x)=0$；当$x\rightarrow0^+$时，$f(x)=x^2$，所以$\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f(x)=0$。因此，$\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)=0$。

另外，由于函数$f(x)$在$x=0$左右两侧的极限相等且存在，且$f(0)=0$，因此$f(x)$在$x=0$处连续。

2. 定义域内的连续性

对于$x<0$的情况，$f(x)$是线性函数，因此在$x<0$的区间上连续。而对于$x\geq0$的情况，$f(x)$是二次函数，因此在$x\geq0$的区间上也连续。

因此，函数$f(x)$在整个定义域内都是连续的。

3. 图像的连续性

我们还可以通过绘制函数$f(x)$的图像来观察其连续性。从图像上看，函数$f(x)$在$x=0$处有一个"拐点"，但是没有"断点"。因此，函数$f(x)$在整个定义域内都是连续的。

综上所述，函数$f(x)=\begin{cases}2x&x<0\\x^2&x\geq 0\end{cases}$在整个定义域内都是连续的。