二分查找平均查找长度怎么计算

二分查找又称为折半查找，是一种高效的查找算法，在有序数组中查找元素的平均时间复杂度为O(logn)。它通过每次将查找区间缩小一半的方式来快速定位目标元素。那么，如何计算二分查找的平均查找长度呢？本文将从多个角度进行分析。

一、理论分析

平均查找长度是衡量一种查找算法效率的重要指标，它表示在查找成功时需要比较的关键字个数的期望值。对于一个长度为n的有序数组，使用二分查找对其进行查找，平均查找长度可以通过下列公式计算得出：

ASL = log2(n+1)-1

其中ASL表示平均查找长度，log2表示以2为底的对数。公式的推导如下：

假设在数组中查找某个元素x，每次将待查找区间长度缩小到原来的一半。初次比较是在数组的中间位置，如果中间位置元素的值等于x，那么就查找成功。如果不等于，根据数字的大小关系，在左半区间或右半区间继续查找。具体流程如下：

1、比较数组中间位置的元素和x的大小关系。

2、如果中间位置元素等于x，则查找成功。

3、如果中间位置元素大于x，则在数组左半区间继续查找。

4、如果中间位置元素小于x，则在数组右半区间继续查找。

因为待查找区间长度每次缩小为原来的一半，所以在最坏情况下，需要比较的关键字个数为log2n。因此，在查找成功的情况下，平均查找长度为：

ASL = (1/2)*(1+2+...+log2n)/(log2n)

通过数学归纳法可以证明：1+2+...+log2n = log2(n+1)-1，因此

ASL = log2(n+1)-1

二、实验计算

除了理论分析外，我们还可以通过实验进行计算。我们可以编写程序，在有序数组中随机查找10000次，然后将每次查找成功时的比较次数累加起来，最后求得平均比较次数，即为平均查找长度。

以下是Java实现代码示例：

```java

import java.util.Arrays;

import java.util.Random;

public class BinarySearch {

public static void main(String[] args) {

final int N = 10000; // 查找次数

final int MAX = 1000000; // 数组最大值

int[] a = new int[MAX];

Random rand = new Random();

// 初始化有序数组

for (int i = 0; i < MAX; i++) {

a[i] = i;

}

int sum = 0; // 比较次数总和

for (int i = 0; i < N; i++) {

int x = rand.nextInt(MAX); // 随机查找值

int cmp = binarySearch(a, x); // 返回比较次数

sum += cmp;

}

double ASL = (double)sum / N;

System.out.println("ASL = " + ASL);

}

public static int binarySearch(int[] a, int x) {

int lo = 0, hi = a.length - 1, mid;

int cmp = 0;

while (lo <= hi) {

cmp++;

mid = (lo + hi) / 2;

if (a[mid] == x) {

return cmp;

} else if (a[mid] < x) {

lo = mid + 1;

} else {

hi = mid - 1;

}

}

return 0;

}

}

```

三、深入探究

二分查找的平均查找长度不仅和待查找的数组长度有关，还和查找值的分布情况有关。下面我们来分析一下两种不同分布情况下平均查找长度的差异性。

1、均匀分布

假设待查找的元素在数组中均匀分布，则它们被查找到的概率近似相等。此时，平均查找长度可以用以下公式计算：

ASL = log2n/2 + 1/2

因为对于任意一个元素x，有查找到它的概率是1/n，所以平均查找长度可以看做查找n个元素的均值。

对于n=10^6的数组，ASL约为20.9999。

2、三个块分布

另一种情况是将数组分为三个长度相等的块，其中第一个块的元素值小于查找值，第二个块是待查找的区间，第三个块的元素值大于查找值。假设查找值在第二个块中的概率为P2，则平均查找长度可以用以下公式计算：

ASL = 1 + 1/P2*(log2n/2+1) + (1-P2)/2*(log2n/2+2)

此时，平均查找长度的计算需要考虑到查找值在第二个块中和不在第二个块中两种情况。

对于n=10^6的数组，当P2等于1/3时，ASL约为17.6729。