完全三部图例子

完全三部图是图论中的一个重要概念，也是一个简单而有趣的图形。它由三个互不相交的点集构成，其中每个点集内部的点互相连接，而不同的点集之间的点不能连接。下面就让我们从多个角度来分析完全三部图及其例子。

完全三部图的定义

完全三部图是一个无向图，它由三个不相交的点集 $X$, $Y$, $Z$ 和它们之间的所有可能边组成。即所有点$x\in X$ 连接到所有 $y\in Y$ 和所有 $z\in Z$，所有点$y\in Y$ 连接到所有 $z\in Z$，而不同点集内部的点之间没有边。它的顶点数为 $|X|+|Y|+|Z|$，边数为 $|X||Y|+|X||Z|+|Y||Z|$。

例子

下面是一个简单的完全三部图：

这个完全三部图由三个点集构成，其中 $X=\{x_1,x_2\}$，$Y=\{y_1,y_2\}$，$Z=\{z_1,z_2\}$。图中的蓝色线表示 $X$ 中的点和 $Y$ 中的点之间的边，绿色线表示 $X$ 中的点和 $Z$ 中的点之间的边，而红色线表示 $Y$ 中的点和 $Z$ 中的点之间的边。

完全三部图的性质

完全三部图有一些特殊的性质，下面我们分别来看一下。

1. 完全三部图的划分

完全三部图的每个点都与另外两个点集中的所有点相连，因此它无法分成两个互不相交的子图。但是，我们可以将它划分成 $K_{|X|}$，$K_{|Y|}$ 和 $K_{|Z|}$ 三个完全图。即每个点集内部的点构成一个完全图。这种划分方法被称为完全三部图的三元划分。

2. 完全三部图的带权版本

完全三部图的带权版本是指将每条边都赋予一个权重的完全三部图。这种图在实际应用中非常常见，例如它可以用于分析社交网络中的用户关系、分析股票市场中的交易关系等等。在带权完全三部图中，每个边都可以表示为 $(x,y,z,w)$，其中 $w$ 表示该边的权重。

完全三部图在计算机科学中的应用

完全三部图在计算机科学中有很多应用，下面我们列举一些常见的应用：

1. 最大匹配

完全三部图可以应用于求解最大匹配问题，即在两个集合之间选择最大数量的元素，使得它们能够相互匹配。在完全三部图中，如果我们将一个点集中的点看作左侧集合，另一个点集中的点看作右侧集合，那么最大匹配问题就变成了在这个完全三部图中找到最大的匹配。

2. 颜色染色

完全三部图可以应用于颜色染色问题，即给定一个图形和一定数量的颜色，通过给图的各个部分着上不同的颜色，使得不同部分之间的颜色相异。在完全三部图中，我们可以通过将一部分点集着成一种颜色，另一部分点集着成另外一种颜色，将另一部分点集着成第三种颜色，从而实现颜色染色的问题。

3. 社交网络分析

完全三部图可以应用于分析社交网络中的用户关系、用户间的交互以及用户群体间的联系。其中，每个点可以表示为一个用户，每条边可以表示为用户之间的联系，从而可以分析用户之间的互动和影响力。