关键路径网络图计算例题

在项目管理中，关键路径网络图是一种用来分析项目活动及其持续时间的有力工具。关键路径是指在项目网络图中具有最大总时间的路径，它标识出了把项目完成所需时间最长的一组活动。下面我们将结合一个例题来介绍如何计算关键路径网络图。

例题：某公司要求设计一个新产品，其设计过程分为以下活动：

```

活动 时间 (天) 前置条件

A 2 -

B 4 A

C 3 A

D 6 B,C

E 5 D

F 2 E

```

假设考虑的起始日期为 2019 年 1 月 1 日。

（1）绘制网络图

绘制活动间的依赖关系如下图所示。


（2）计算最早开始时间和最晚开始时间

根据网络图，可以通过以下几步计算出每个活动的最早开始时间和最晚开始时间：

1. 确定起始节点 A 的最早开始时间（EST）为 0。

2. 对于 B 和 C，由于它们只有一个前置活动 A，因此它们的最早开始时间为它们的前置活动的最早结束时间（EFT）。

$$EST(B) = EST(C) = EFT(A) = 2$$

3. 对于 D，由于它有两个前置活动 B 和 C，D 的最早开始时间将等于其前置活动中最晚的最早结束时间。因此，EST（D）= max（EFT（B），EFT（C））= 2。

4. 对于 E，由于它只有一个前置活动 D，因此它的 EST 为其前置活动的 EFT，即 EST（E）= EFT（D）= 8。

5. 对于 F，由于它只有一个前置活动 E，因此它的 EST 为其前置活动的 EFT，即 EST（F）= EFT（E）= 13。

接下来我们计算每个活动的最晚开始时间（LST）。

1. 假设全部活动先在日期 2019 年 1 月 1 日开始，则所有活动的最晚开始时间（LST）均为其完成时间（EFT）。

2. 对于 F，由于它的最晚开始时间就是其完成时间，因此其最晚开始时间（LST）= 最早开始时间（EST）+ 活动时长（D）= 13 + 2 = 15。

3. 对于 E，由于其 LST 需要等于其后继活动的 LST 减去其自身的时长，因此 LST（E）= LST（F） - D（F->E）= 15 - 2 = 13。

4. 对于 D，它的后继活动是 E，因此，LST（D）= LST（E）- D（E->D）= 13 - 5 = 8。

5. 对于 B 和 C，它们的后继活动是 D，因此，LST（B）= LST（C）- D（C->D）= LST（D）- D（D->B）= 8 - 6 = 2；LST（C）= LST（D）- D（D->C）= LST（D）- D（D->C）= 2。

6. 最后，根据每个活动的 EST 和 LST 可以求出每个活动的总浮动时间（TF）和自由浮动时间（FF），如下表所示。

```

活动 EST EFT LST LFT D TF FF

A 0 2 0 2 2 2 2

B 2 6 2 6 4 0 0

C 2 5 2 5 3 0 0

D 6 12 8 14 6 2 2

E 12 17 13 18 5 2 2

F 17 19 15 17 2 0 0

```

其中，总浮动时间（TF）是指活动的最晚开始时间与最早开始时间之差，也可以理解为活动可以推迟的最长时间；自由浮动时间（FF）是指活动延误不会影响后续活动的最长时间，也就是当活动的最早开始时间提前（比如加班加点）时，可以把节省下来的时间用来做其他事情（比如休息）。

（3）计算关键路径

在上表中，总浮动时间（TF）和自由浮动时间（FF）都为 0 的活动就是关键路径上的活动。因此，关键路径中的活动为 A、B、D 和 E，如下图所示，它们的 EST = LST，TF = 0，FF = 0。


（4）确定项目完成时间

由于关键路径上的活动决定了项目的持续时间，因此可以通过计算关键路径上活动的 D 值之和来确定整个项目的最短持续时间。在本例中，关键路径上活动的 D 值之和为 2 + 4 + 6 + 5 = 17。因此，该项目需要 17 天才能完成。如果任何一个关键路径上的活动延误，整个项目的计划都会受到影响。

综上所述，通过计算关键路径网络图，可以找到项目的瓶颈和关键路径，从而更好地掌握项目的进展。在实际项目管理中，关键路径网络图还可以用于资源分配和进度跟踪等方面。因此，它是一种非常重要的工具。