最优二叉树权值怎么求

二叉树是一种非常常见且重要的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用，如搜索引擎、编译器、游戏AI等。在二叉树中，如果每个节点存储一个权值，我们可以通过构建最优二叉树（也称为哈夫曼树）来使得树的带权路径长度最小。然而，如何求解最优二叉树的权值，却是一个比较复杂的问题。

一、哈夫曼树

哈夫曼树是一种特殊的二叉树，在哈夫曼树中，所有叶子节点的权值都是已知的，并且哈夫曼树的带权路径长度（WPL）是最小的。带权路径长度是指二叉树中每个叶子节点到根节点的路径长度乘以该节点的权值之和。因此，构建哈夫曼树的核心是找到一种权值分配方案，使得WPL最小。

二、贪心算法

哈夫曼树的求解通常采用贪心算法，贪心算法是指在每一步选择中，选择当前状态下最优的解，最终得到全局最优解的一种算法。具体来说，构建哈夫曼树的贪心算法步骤如下：

1. 将所有叶子节点的权值按照从小到大排序；

2. 选取权值最小的两个叶子节点作为左右子树，构建一棵根节点为它们权值之和的新树；

3. 将新树的权值加入到已知权值中，重新排序；

4. 重复步骤2和3，直至只剩下一棵二叉树为止。

贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为叶子节点的个数。

三、算法实现

以下是一段C语言伪代码实现最优二叉树的算法：

```c

Node* huffmanTree(int a[], int n) {

priority_queue , cmp> pq; // 建立小顶堆优化

for (int i = 0; i < n; i++) {

Node* node = new Node(a[i]); // 创建叶子节点

pq.push(node);

}

while (pq.size() > 1) { // 只剩一棵树

Node* left = pq.top();

pq.pop();

Node* right = pq.top();

pq.pop();

Node* parent = new Node(left->val + right->val); // 创建新的父节点

parent->left = left;

parent->right = right;

pq.push(parent); // 将新树的权值加入到队列中

}

return pq.top();

}

```

四、案例分析

我们以以下四个节点的权值为例：[5, 3, 8, 2]，使用哈夫曼树求取权值。

首先把4个节点的权值从小到大排序，得到[2, 3, 5, 8]。

然后将权值最小的2个节点3和2相加，构造一棵新的树5，如下：

```

5

/ \

3 2

```

此时权值数组为[5, 5, 8]，继续选择权值最小的2个节点5和5求和，得到新的节点10，构造一棵新的树10，如下：

```

10

/ \

5 5

/ \

3 2

```

最后再将新树10和权值为8的节点合并，得到最终的哈夫曼树，如下：

```

23

/ \

10 8

/ \

5 5

/ \

3 2

```

可以看出，这棵最优二叉树的WPL为23。

五、结论

哈夫曼树是用来解决带权路径长度最短的问题的重要算法，在解决哈夫曼树问题时，通常采用贪心算法，其时间复杂度为O(nlogn)。我们可以通过C语言等语言实现最优二叉树的算法。最后，我们以一个例子，阐述了如何使用哈夫曼树来求取最优二叉树的权值，最终得到一个哈夫曼树，WPL为23。